[TEX]6^x + 7^x +555x^2 - 543x = 12^x + 13^x[/TEX]
mọi người giúp tớ chứng minh bài nì có 3 nghiệm phân biệt nhá:khi (196):
Ý tưởng thì như sau: phần 1-> chứng mình nó có tối thiểu 3 nghiệm, phần 2-> chứng minh nó có tối đa 3 nghiệm. Bước 3-> túm lại là nó có đúng 3 nghiệm /
Bước 1: Chứng minh nó có tối thiểu 3 nghiệmcó thể làm theo 2 cách
Cách 1:
Mò được 3 nghiệm [TEX]x=0; x= 1; x=3[/TEX]
-> phương trình có tối thiểu 3 nghiệm :>
Cách 2:
Mò được [TEX]x=0; x=1[/TEX] đến [TEX]x=2[/TEX] thấy ko khớp -> thôi ko mò nữa /
Nghĩ đến hướng áp dùng kiến thức hàm liên tục của lớp 10 để chứng minh nó tồn tại thêm một nghiệm khác.
- Biến đổi phương trình thành : [TEX]f(x) = 12^x + 13^x - 6^x - 7^x - 555x^2 + 543x = 0[/TEX]
hàm [TEX]f(x)[/TEX] có TXĐ là [TEX]R[/TEX] nên liên tục trên [TEX]R[/TEX]. Nên nếu tìm được 2 số [TEX]a, b[/TEX] thỏa mãn [TEX]f(a) . f(b) < 0[/TEX] thì sẽ [TEX]\exists x_0 \in (a; b)[/TEX] sao cho [TEX]f(x_0) = 0[/TEX] tức tồn tại nghiệm [TEX]x_0 \in (a;b)[/TEX]
Giờ ta chỉ cần chọn khoảng [TEX](a; b)[/TEX] sao cho [TEX]f(a) . f(b) < 0[/TEX], nhưng chú ý là [TEX](a; b)[/TEX] ko được chứa [TEX]x=0[/TEX] và [TEX]x=1[/TEX]
Chọn [TEX]a=2 \Rightarrow f(2) = {-906} <0 [/TEX] [TEX](I)[/TEX]
Để ý hàm [TEX]f(x)[/TEX], khi [TEX]x\to +\infty [/TEX] thì [TEX]f(x) \to +\infty [/TEX] vì cơ số 12 và 13 (phần dương) tăng nhanh hơn gấp nhiều lần so với cơ số 6 và 7 (phần âm) còn phần đa thức coi như không đáng kể vì ko thấm vào đâu so với phần mũ.
Do vậy ta chỉ cần chọn [TEX]b[/TEX] lớn một tý xíu là sẽ được [TEX]f(b)[/TEX] dương. Ví dụ [TEX]b=5 \Rightarrow f(b) = 584 382 > 0[/TEX] [TEX](II)[/TEX]
Từ (I) và (II) -> [TEX]f(2) . f(5) < 0[/TEX] nên phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng [TEX](2; 5)[/TEX]
Vậy có tối thiểu 3 nghiệm
Bước 2: Chứng minh nó có tối đa 3 nghiệm
Áp dụng định lý Rolle. Em xem bài này anh mới chữa cho một bạn
http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=1724659&postcount=2
Ý tưởng là phương trình có dạng [TEX]f(x) = 12^x + 13^x - 6^x - 7^x - 555x^2 + 543x = 0[/TEX]
[ đã edit ]
+ Xét với [TEX]x>0[/TEX]
[TEX]f\prime(x) = 12^x \ln12 + 13^x \ln 13 - 6^x \ln 6 - 7^x \ln 7 - 1110x[/TEX]
[TEX]f\prime\prime(x) = 12^x \ln^2 12 + 13^x \ln^2 13 - 6^x \ln^2 6 - 7^x \ln^2 7 - 1110[/TEX]
[TEX]f\prime\prime\prime(x) = 12^x \ln^3 12 + 13^x \ln^3 13 - 6^x \ln^3 6 - 7^x \ln^3 7[/TEX]
Hiển nhiên [TEX]f\prime\prime\prime(x) > 0 \forall x >0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f\prime\prime\prime(x)[/TEX] vô nghiệm (hay có [TEX]0[/TEX] nghiệm)
[TEX]\Rightarrow f\prime\prime(x)[/TEX] có tối đa 1 nghiệm
[TEX]\Rightarrow f\prime(x)[/TEX] có tối đa 2 nghiệm
[TEX]\Rightarrow f(x)[/TEX] có tối đa 3 nghiệm
+ Xét với [TEX]x<0[/TEX]
phương trìn [TEX]12^x + 13^x - 6^x - 7^x - 555x^2 + 543x = 0[/TEX]
[TEX]VT = 12^x + 13^x - 6^x - 7^x - x(555x-543)[/TEX]
Do [TEX]x<0[/TEX] nên [TEX]12^x + 13^x < 6^x + 7^x[/TEX] hay [TEX]12^x + 13^x - 6^x - 7^x < 0[/TEX]
[TEX]x(555x-543) > 0 \forall x < 0[/TEX] vì [TEX]x<0[/TEX] [TEX]555x-543 < 0[/TEX]
-> [TEX]VT = 12^x + 13^x - 6^x - 7^x - x(555x-543) < 0 \forall x < 0[/TEX]
-> phương trình vô nghiệm với [TEX]x < 0[/TEX]
Vậy phương trình của ta có đúng 3 nghiệm. Done
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn