Cho hàm số : [tex]y= (3m-1)x+5m-3[/tex] (d)
a. Tìm m để (d) luôn đi qua điểm A(-3;4)
b. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua diểm M cố định . Tính AM .
c. Tính khoảng cách lớn nhất từ gốc toạ độ đến (d).
a) Để $(d)$ luôn đi qua điểm $A(-3;4)$
$\Rightarrow 4=-3(3m-1)+5m-3$
$\Leftrightarrow m=-1$
b) Giả sử điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua là $M(x_o;y_o)$
$\Rightarrow y_o=(3m-1)x_o+5m-3$
$\Leftrightarrow 3x_om-x_o+5m-3-y_o=0$
$\Leftrightarrow (3x_o+5)m-(x_o+y_o+3)=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x_o+5=0 \\ x_o+y_o+3=0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_o=\dfrac{-5}3 \\ y_o=\dfrac{-4}3 \end{matrix} \right.$
$\Rightarrow (d)$ luôn đi đi điểm $M(\dfrac{-5}3;\dfrac{-4}3)$ cố định.
Ta có: $AM=\sqrt{(\dfrac{-5}3+3)^2+(\dfrac{-4}3-4)^2}=\dfrac{4\sqrt{17}}3$
c) Nếu $m=\dfrac13$ thì $(d)$ có dạng $y=\dfrac{-4}3$
$\Rightarrow$ Khoảng cách từ $(d)$ đến gốc tọa độ là $\dfrac 43$
Nếu $m\ne \dfrac13$ thì ta có:
Giao điểm của $(d)$ với trục $Oy$ là $B(0;5m-3)\Rightarrow OB=|5m-3|$
Giao điểm của $(d)$ với trục $Ox$ là $C(\dfrac{5m-3}{1-3m})\Rightarrow OC=\left| \dfrac{5m-3}{1-3m} \right|$
Kẻ $OH\perp BC\Rightarrow OH$ là khoảng cách từ $(d)$ đến gốc tọa độ.
Áp dụng HTL trong tam giác vuông $OBC$ ta có:
$\dfrac1{OH^2}=\dfrac1{OB^2}+\dfrac1{OC^2}=\dfrac1{(5m-3)^2}+\dfrac{(1-3m)^2}{(5m-3)^2}=\dfrac{(1-3m)^2+1}{(5m-3)^2}$
$\Rightarrow OH^2=\dfrac{(5m-3)^2}{(1-3m)^2+1}=\dfrac{25m^2-30m+9}{9m^2-6m+2}=\dfrac{225m^2-270m+81}{9(9m^2-6m+2)}$
$=\dfrac{41(9m^2-6m+2)-(144m^2+24m+1)}{9(9m^2-6m+2)}=\dfrac{41}9-\dfrac{(12m+1)^2}{9(9m^2-6m+2)}\le \dfrac{41}9$
$\Rightarrow OH\le \dfrac{\sqrt{41}}3$
Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{12}$ (TM)
Vậy...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
