Hàm số 12 (Khóa cb thầy Phương)

  • Thread starter tk.teen.nhox1997@gmail.com
  • Ngày gửi
  • Replies 4
  • Views 635

T

tk.teen.nhox1997@gmail.com

X

xuanquynh97

Đặt $t=x^2$ (t \geq 0)

PT \Leftrightarrow $t^2-2(m+1)t+2m+1$

$\Delta'=(m+1)^2-(2m+1)=m^2$ \geq 0 \forall m

\Rightarrow $\left[ \begin{array}{ll} t=1 &\\

t=2m+1& (m > \dfrac{-1}{2})
\end{array} \right.$

\Rightarrow $x_1=1;x_2=-1;x_3=\sqrt{2m+1};x_4=-\sqrt{2m+1}$

$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=2+2(2m+1)^2 ≥ 2$

Min= 2 khi $m = \dfrac{-1}{2}$ KTM

Không tồn tại m
 
Last edited by a moderator:
R

rocky1208

xuanquynh97 said:
Đặt $t=x^2$ (t \geq 0)

PT \Leftrightarrow $t^2-2(m+1)t+2m+1$

$\Delta'=(m+1)^2-(2m+1)=m^2$ \geq 0 \forall m

\Rightarrow $\left[ \begin{array}{ll} t=1 &\\

t=2m+1& (m ≥ \dfrac{-1}{2})
\end{array} \right.$

\Rightarrow $x_1=1;x_2=-1;x_3=\sqrt{2m+1};x_4=-\sqrt{2m+1}$

$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=2+2(2m+1)^2 ≥ 2$

Min= 2 khi $m = \dfrac{-1}{2}$ (TM)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Không đúng.

Để pt [TEX]x^4+2(m+1)x^2 +2m+1 =0[/TEX] có 4 nghiệm phân biệt
thì phương trình [TEX]t^2 - 2(m+1)t+2m+1=0[/TEX] phải có 2 nghiệm "DƯƠNG" phân biệt. (Vì mỗi nghiệm t dương sẽ cho 2 nghiệm x là đối của nhau).

Em có thể thử lại bằng cách thay m = -1/2 vào pt sẽ được:
[TEX]t^2-t=0[/TEX] tức [TEX]t=1[/TEX] hoặc [TEX]t=0[/TEX]
Như vậy pt ban đầu chỉ có 3 nghiệm là 1, -1 và 0. Không phải 4 nghiệm.

Cách giải thì như dưới đây, nhưng có điều bài này có lẽ sai đề, vì ta không thể tìm được cực tiểu của biểu thức: [TEX]P=x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 [/TEX]
---------------------------------------------
Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số và Ox là số nghiệm của phương trình:
[TEX]x^4-2(m+1)x^2+(2m+1)=0[/TEX] [TEX](1)[/TEX]

Đặt [TEX]t=x^2 \geq 0[/TEX]

PT tương đương:
[TEX]t^2-2(m+1)t+(2m+1)=0[/TEX] [TEX](2)[/TEX]

[TEX]\Delta ' = m^2[/TEX]

(C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](1)[/TEX] có 4 nghiệm phân biệt.

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) cần có 2 nghiệm t dương phân biệt:
[TEX]\left{\begin{\Delta ' > 0}\\{S= t_1 + t_2> 0}\\{P=t_1.t_2 >0} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{m^2> 0}\\{2(m+1)> 0}\\{2m+1 >0} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{m \neq 0}\\{m>-\frac{1}{2}} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m\in (-\frac{1}{2};0) \cup (0; +\infty) [/TEX] [TEX](I)[/TEX]

(Đặt [TEX] A= (-\frac{1}{2};0) \cup (0; +\infty)[/TEX] cho tiện

Khi đó (2) có 2 nghiệm dương phân biệt:
[TEX]t_1=1[/TEX]
[TEX]t_2=1+2m[/TEX]

Tức (1) có 4 nghiệm:
[TEX]\left[\begin{x=-1}\\{x=1}\\{x=-\sqrt{1+2m}\\{x=\sqrt{1+2m}} [/TEX]

Xét
[TEX]P=x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 [/TEX]
[TEX]=1 + 1 + (1+2m)^2 + (1+2m)^2[/TEX]
[TEX]=8m^2+8m+4[/TEX]

Bài toán dẫn về: tìm [TEX]m\in A[/TEX] để [TEX]P(m) = 8m^2+8m+4[/TEX] đạt giá trị nhỏ nhất.

Thông thường, đến đây tính đạo hàm của P, vẽ bảng biến thiên rồi rút ra min P. Nhưng bài này ta không thể rút ra được min vì điểm cực tiểu của P(m) rơi đúng [TEX]m=-\frac{1}{2}[/TEX] không thuộc miền A.
Ngoài ra miền A là khoảng mở nên ta không thể lấy giá trị P(m) tại hai đầu mút. Nói chung là bảng biến thiên như sau:

Untitled.png
 
Last edited by a moderator:
G

giaconnhinhanh

đề là m không âm mà đáp án ra m=-1/2, vậy không tìm dc m thỏa mãn dk dc, min=2
 
X

xuanquynh97

rocky1208 said:
Không đúng.

Để pt [TEX]x^4+2(m+1)x^2 +2m+1 =0[/TEX] có 4 nghiệm phân biệt
thì phương trình [TEX]t^2 - 2(m+1)t+2m+1=0[/TEX] phải có 2 nghiệm "DƯƠNG" phân biệt. (Vì mỗi nghiệm t dương sẽ cho 2 nghiệm x là đối của nhau).

Em có thể thử lại bằng cách thay m = -1/2 vào pt sẽ được:
[TEX]t^2-t=0[/TEX] tức [TEX]t=1[/TEX] hoặc [TEX]t=0[/TEX]
Như vậy pt ban đầu chỉ có 3 nghiệm là 1, -1 và 0. Không phải 4 nghiệm.

Cách giải thì như dưới đây, nhưng có điều bài này có lẽ sai đề, vì ta không thể tìm được cực tiểu của biểu thức: [TEX]P=x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 [/TEX]
---------------------------------------------
Số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số và Ox là số nghiệm của phương trình:
[TEX]x^4-2(m+1)x^2+(2m+1)=0[/TEX] [TEX](1)[/TEX]

Đặt [TEX]t=x^2 \geq 0[/TEX]

PT tương đương:
[TEX]t^2-2(m+1)t+(2m+1)=0[/TEX] [TEX](2)[/TEX]

[TEX]\Delta ' = m^2[/TEX]

(C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](1)[/TEX] có 4 nghiệm phân biệt.

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) cần có 2 nghiệm t dương phân biệt:
[TEX]\left{\begin{\Delta ' > 0}\\{S= t_1 + t_2> 0}\\{P=t_1.t_2 >0} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{m^2> 0}\\{2(m+1)> 0}\\{2m+1 >0} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left{\begin{m \neq 0}\\{m>-\frac{1}{2}} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow m\in (-\frac{1}{2};0) \cup (0; +\infty) [/TEX] [TEX](I)[/TEX]

(Đặt [TEX] A= (-\frac{1}{2};0) \cup (0; +\infty)[/TEX] cho tiện

Khi đó (2) có 2 nghiệm dương phân biệt:
[TEX]t_1=1[/TEX]
[TEX]t_2=1+2m[/TEX]

Tức (1) có 4 nghiệm:
[TEX]\left[\begin{x=-1}\\{x=1}\\{x=-\sqrt{1+2m}\\{x=\sqrt{1+2m}} [/TEX]

Xét
[TEX]P=x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 [/TEX]
[TEX]=1 + 1 + (1+2m)^2 + (1+2m)^2[/TEX]
[TEX]=8m^2+8m+4[/TEX]

Bài toán dẫn về: tìm [TEX]m\in A[/TEX] để [TEX]P(m) = 8m^2+8m+4[/TEX] đạt giá trị nhỏ nhất.

Thông thường, đến đây tính đạo hàm của P, vẽ bảng biến thiên rồi rút ra min P. Nhưng bài này ta không thể rút ra được min vì điểm cực tiểu của P(m) rơi đúng [TEX]m=-\frac{1}{2}[/TEX] không thuộc miền A.
Ngoài ra miền A là khoảng mở nên ta không thể lấy giá trị P(m) tại hai đầu mút. Nói chung là bảng biến thiên như sau:

Untitled.png
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Vâng cảm ơn anh đã giải lại ạ

Không tồn tại m phải không ạ

 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom