Toán 12 Hàm đặc trưng.

[hh0926261619]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình
$f\left(\left|\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|+2\right)=f(\sqrt{(m+2)^2+4})$ có nghiệm



ai chỉ giúp mình câu này làm sao vậy ạ. Thanks

 

[Alice_www]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình
$f\left(\left|\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|+2\right)=f(\sqrt{(m+2)^2+4})$ có nghiệm


ai chỉ giúp mình câu này làm sao vậy ạ. Thanks

$f\left(\left|\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|+2\right)=f(\sqrt{(m+2)^2+4})$ (1)
Ta có: $\left|\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|+2 \ge 2; \sqrt{(m+2)^2+4}\ge 2$
và $f$ đồng biến trên $[2,+\infty]$
nên (1) $\Leftrightarrow \left|\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|+2=\sqrt{(m+2)^2+4}$
Xét $P=\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}$
$\Rightarrow P(2\cos x-\sin x+4)=3\sin x-\cos x-1$
$\Leftrightarrow \cos x (2P+1) -\sin x (P+3)=-1-4P$
Ta có: $|\cos x (2P+1) -\sin x (P+3)|\le \sqrt{(\sin ^2x+\cos ^2x)((2P+1)^2+(P+3)^2}$
Suy ra $(1+4P)^2\le 5P^2+10P+10$
$\Leftrightarrow 11P^2-2P-9\le 0\Leftrightarrow \dfrac{-9}{11}\le P\le 1$
$\Rightarrow 0\le |P|\le 1$
(1) có nghiệm $\Leftrightarrow 2\le \sqrt{(m+2)^2+4}\le 3$
$\Leftrightarrow 0\le (m+2)^2\le 5$
$\Leftrightarrow -\sqrt5-2\le m\le \sqrt5-2$
Vậy $m\in \{-4,-3,-2,-1,0\}$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em có thể tham khảo thêm ở topic này để ôn thi học kì nhé <3
https://diendan.hocmai.vn/threads/tong-hop-topic-on-thi-hoc-ki.841342/

 

[hh0926261619]

Tại sao lại có hai cái đó vậy ạ..........................

Tại sao lại có hai chỗ này vậy ạ.....................

 

[Alice_www]

Tại sao lại có hai cái đó vậy ạ..........................

Tại sao lại có hai chỗ này vậy ạ.....................

ở dòng đầu tiên là do bất đẳng thức bunhiacopxki: $(ax+by)^2\le (a^2+b^2)(x^2+y^2)$
dòng thứ 2 là vì ta đã đánh giá được: $0\le\left|\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|\le1$
nên $2\le\left|\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|+2\le3$
Ở trên ta có: $ \left|\dfrac{3\sin x-\cos x-1}{2\cos x-\sin x+4}\right|+2=\sqrt{(m+2)^2+4}$
Vậy để có nghiệm thì $2\le\sqrt{(m+2)^2+4}\le3$