hai đường tròn

[thanhtramituot]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho (O;R) và (O';R') cắt nhau tại A và B (O và O' thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AB). Từ điểm C trên tia đối tia AB kẻ các tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O. Kẻ tiếp tuyến CF với đường tròn tâm O'
a) Cmr CE^2 =CA . CB
b) C/m CD = CF
c) Các đường thẳng AD, AE cắt (O') lần lượt tại M và N. Đường thẳng DE cắt MN tại I. C/m BEIN nội tiếp được đường tròn
d) C/m Ilà trung điểm MN.

 

[eye_smile]

a, Tam giác CAE đ.dạng với tam giác CEB(g-g)

\Rightarrow $\dfrac{CA}{CE}=\dfrac{CE}{CB}$

\Rightarrow $CA.CB={CE^2}$

 

[eye_smile]

b, Chứng minh tương tự, có:

${CF^2}=CA.CB$

và ${CD^2}=CA.CB$

\Rightarrow $CF=CD$

 

[lamnguyen.rs]

c)
góc DEB = 1/2 số đo cung DB lớn ==> góc BEI = 180 - 1/2 số đo cung DB lớn (1)
ABNM nội tiếp đường tròn O' ==> góc BAM = 180 - góc BNM
Mà góc BAM = 180 - góc DAB = 180 - 1/2 số đo cung DB lớn.
Suy ra góc BNM = 1/2 số đo cung DB lớn. (2)
Từ (1), (2) ==> góc BEI + góc BNI = 180 ==> BEIN là tứ giác nội tiếp

 

[lamnguyen.rs]

Câu d:
$\widehat{IMB} = \widehat{BAN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BN trong đường tròn O') (1)
$\widehat{BAE} = \widehat{BDE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BE trong đường tròn O)
Suy ra $\widehat{IMB} = \widehat{IDB}$ ==> DMIB là tứ giác nội tiếp ==> $\widehat{BIM} + \widehat{BDM} = 180^0$
Mà ADBE là tứ giác nội tiếp ==> $\widehat{ADB} + \widehat{AEB} = 180^0$
Suy ra $\widehat{BIM} = \widehat{AEB}$ (2)
Từ (1), (2) ==> $\Delta AEB$ đồng dạng $\Delta MIB$ ==> $\dfrac{MI}{AE} = \dfrac{BI}{BE} ==> \dfrac{MI}{BI} = \dfrac{AE}{BE}$ (a)
Tuơng tự ta chứng minh được $\Delta ABD$ đồng dạng $\Delta NBI$ ==> $\dfrac{NI}{AD} = \dfrac{BI}{BD} ==> \dfrac{NI}{BI} = \dfrac{AD}{BD}$ (b)
Xét $\Delta CAE, \Delta CEB$:
$ \widehat{CEA} = \widehat{ABE}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AE của đường tròn O)
$ \widehat{C}$ chung
Suy ra $\Delta CAE$ đồng dạng $\Delta CEB$ ==> $\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{CA}{CE}$ (c)
Tương tự, ta chứng minh được $\Delta CDA$ đồng dạng $\Delta CBD$ ==> $\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{CA}{CD}$ (d)
Mà CD = CE (tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 điểm) (e)
Từ (a), (b), (c), (d), (e) ==> $\dfrac{MI}{BI} = \dfrac{NI}{BI} ==> MI = BI$
Vậy I là trung điểm MN.