hà tây 2007-2008

V

vip_boy_hp_9x

vì H là trực tâm nên :AH=BH=CH =>(AH+BH+CH)^2=9BH^2
mà 4BH^2<BC^2
do đó 5BH^2<AB^2+AC^2
vậy (AH+BH+CH)^2<AC^2+AB^2+BC^2
hihihi.thank hộ cái nha
 
V

vitconcatinh_foreverloveyou

bài này cm dài lắm, mình ghi các bước tóm tắt rồi bạn tự cm nhá

gọi 3 đcao là AM, BN, CE

[TEX]AH . AM = AE . AB = AN . AC[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AH. AM = \frac{1}{2} . ( AE . AB + AN . AC) (1)[/TEX]

tương tự

[TEX]BN . BH = \frac{1}{2} . (BM . BC + BE . BA) (2)[/TEX]

[TEX]CH . CE = \frac{1}{2} . (CN . CA + CM . BC) (3)[/TEX]

[TEX](1) + (2) + (3) \Rightarrow AH. AM + BH . BN + CH .CE = \frac{1}{2} . (AB^2 + BC^2 + CA^2)[/TEX]

ta có

[TEX]\frac{AH}{AM} + \frac{BH}{BN} + \frac{CH}{CE} = \frac{AM - HM}{AM} + \frac{BN - HN}{BN} + \frac{CE - HE}{CE}[/TEX]

[TEX]= 3 - \bigg( \frac{HM}{AM} + \frac{HN}{BN} + \frac{HE}{CE} \bigg)[/TEX]

[TEX]= 3 - \bigg( \frac{S_{BHC}}{S_{ABC}} + \frac{S_{AHC}}{S_{ABC}} + \frac{S_{ABH}}{S_{ABC}} \bigg)[/TEX]

[TEX]=2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AB^2 + BC^2 + CA^2 = ( AH. AM + BH . BN + CH . CE) . \bigg(\frac{AH}{AM} + \frac{BH}{BN} + \frac{CH}{CE} \bigg) \geq (AH + BH + CH)^2[/TEX]
 
S

son9701

Mở rộng của bài tập này,ta có bất đẳng thức (mang dáng dấp đại số):
Cmr với a;b;c là số đo 3 cạnh 1 tam giác thì:[tex](a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})<4(a^2+b^2+c^2)[/tex]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom