Ta có: [tex]a+b+1=8ab\Rightarrow \frac{a+b+1}{ab}=8\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=8[/tex]
Đặt [tex]x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b}\Rightarrow x+y+xy=8\Rightarrow (x+1)(y+1)=9\Rightarrow 9=(x+1)(y+1)\leq (\frac{x+1+y+1}{2})^2=(\frac{x+y}{2}+1)^2[/tex]
Lại có:[tex]A=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=x^2+y^2\geq \frac{1}{2}(x+y)^2[/tex]
Đặt [tex]t=x+y[/tex]
Ta có:[tex](\frac{x+y}{2}+1)^2\leq 9\Rightarrow (\frac{t}{2}+1)^2\leq 9\Rightarrow (t+2)^2\leq 36\Rightarrow t^2+4t+4\leq 36\Rightarrow t^2+4t-32\leq 0\Rightarrow (t-4)(t+8)\leq 0\Rightarrow -8\leq t\leq 4[/tex]
[tex]\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}t^2=8[/tex]
Cho mình hỏi tại sao [tex]4 \geq t \geq -8[/tex] thì [tex]\frac{1}{2}.t^2 \geq 8[/tex] thế ?
Còn đây là 1 cách khác mà mình nghĩ sẽ đơn giản hơn nè :
Tương tự như bạn
@Mộc Nhãn làm ở phần đầu ta có bài toán mới :
Với [tex]x, y > 0[/tex] và [tex]x + y + xy = 8[/tex] . Tìm min : [tex]x^2 + y^2[/tex]
Ta có :[tex]x^2 \geq 4x - 4; y^2 \geq 4y - 4[/tex]
[tex]2(x^2 + y^2) \geq 4xy[/tex]
--> [tex]3(x^2 + y^2) \geq 4(x + y + xy) - 8 = 24 \Leftrightarrow A \geq 8[/tex]
- Dấu "=" <-> x = y = 2
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
