Toán 9 GTNN

[Trần Tuyết Khả]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=18abc
Tìm GTNN của A= [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex]
Các bạn giải chi tiết giùm mình nhá
@hdiemht

 

[hdiemht]

Với a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=18abc
Tìm GTNN của A= [tex]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/tex]
Các bạn giải chi tiết giùm mình nhá
@hdiemht

Ta có: [tex]\frac{1}{a^2}+1\geq \frac{2}{a};\frac{1}{b^2}+1\geq \frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\geq \frac{2}{c};\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc};\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{ac}[/tex]
Cộng vế theo vế ta được:[tex]3(\sum \frac{1}{a^2})+3\geq 2(\sum \frac{1}{a}+[tex]\sum[/tex] \frac{1}{ab})=2.18=36\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\geq 11[/tex]
Dấu ''='' ........
P/S: Đúng k ta!!!

#Ann Lee: Sai rồi Diễm, dấu "=" ở cách làm của Diễm không xảy ra đâu :v sai ngay từ bước Cauchy đầu tiên rồi.

 

[Ann Lee]

Có: [tex]a+b+c+ab+bc+ca=18abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=18[/tex]
$5A=\frac{5}{a^2}+\frac{5}{b^2}+\frac{5}{c^2}$
$=(\frac{1}{a^{2}}+4)+(\frac{1}{b^{2}}+4)+(\frac{1}{c^{2}}+4)+(\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}})+(\frac{2}{b^{2}}+\frac{2}{c^{2}})+(\frac{2}{c^{2}}+\frac{2}{a^{2}})-12$
$\geq \frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{ab}+\frac{4}{bc}+\frac{4}{ca}-12=4.18-12=60$
$\Rightarrow A\geq 12$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]

 

[mỳ gói]

Có: [tex]a+b+c+ab+bc+ca=18abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=18[/tex]
$5A=\frac{3}{a^2}+\frac{3}{b^2}+\frac{3}{c^2}$
$=(\frac{1}{a^{2}}+4)+(\frac{1}{b^{2}}+4)+(\frac{1}{c^{2}}+4)+(\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}})+(\frac{2}{b^{2}}+\frac{2}{c^{2}})+(\frac{2}{c^{2}}+\frac{2}{a^{2}})-12$
$\geq \frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{ab}+\frac{4}{bc}+\frac{4}{ca}-12=4.18-12=60$
$\Rightarrow A\geq 12$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]

chợt nhật ra Ann nhầm giữa số 3 và số 5 thì phải

#Ann: Sửa lại ngay đây, cảm ơn vì đã nhắc. Ý tưởng ban đầu của mình là xét 3A nhưng lại chưa nghĩ ra cách tách hợp lí được, sau đó chuyển qua 5A. Nhưng lại quên không sửa toàn bài nên thành ra nhầm giữa 3 và 5 như vậy đó

 

[hdiemht]

Có: [tex]a+b+c+ab+bc+ca=18abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=18[/tex]
$5A=\frac{5}{a^2}+\frac{5}{b^2}+\frac{5}{c^2}$
$=(\frac{1}{a^{2}}+4)+(\frac{1}{b^{2}}+4)+(\frac{1}{c^{2}}+4)+(\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}})+(\frac{2}{b^{2}}+\frac{2}{c^{2}})+(\frac{2}{c^{2}}+\frac{2}{a^{2}})-12$
$\geq \frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{ab}+\frac{4}{bc}+\frac{4}{ca}-12=4.18-12=60$
$\Rightarrow A\geq 12$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}[/tex]

Bởi z.. T đăng lên rồi suy nghĩ lại thấy sai đó An

#Ann: Tại m ko để ý đến dấu "=" nên mới sai thôi :3