GTNN trong đề thi chuyên DHKHTN-DHQG HÀ NỘI

[quanghao98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

MÌNH XIN THUẬT LẠI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐỀ THI TOÁN CHUNG VÒNG 1 CỦA DHKHTN NHƯ SAU:

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc+bcd+cda+dab=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=4(a^3+b^3+c^3)+9d^3$

 

[braga]

$\text{Ta có:} \\ 4(a^3+b^3+c^3)+9d^3 \ge 3\sqrt[3]{3x^2}(abd+bcd+acd)+3(4-2x)abc \\ \text{Cần tìm x thỏa mãn:} \\ 4-2x=\sqrt[3]{3x^2} \\ \iff (4-2x)^3=3x^2 \\ \iff 8x^3-45x^2+96x-64=0 \\ \text{Đặt}\ x=\sqrt[3]{u}-\dfrac{31}{64\sqrt[3]{u}}+\dfrac{15}{8}, \ \text{ta có phương trình:} \\ \dfrac{262144u^2+345088u-29791}{32768u}=0 \\ \text{Tìm được} \ u=\dfrac{-337 \pm 64\sqrt{35}}{512} \\ \implies x=\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\dfrac{1}{8}\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+\dfrac{15}{8} \\ \implies 4(a^3+b^3+c^3)+9d^3 \ge \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}-\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}} \\ \text{Dấu "=" xảy ra khi:} \\ a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}(\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15)}}} \\ d=\dfrac{\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15}{24\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{\dfrac{9}{8}(\sqrt[3]{-337+64\sqrt{35}}+\sqrt[3]{-337-64\sqrt{35}}+15)}}}$

 

[quanghao98]

bài này e còn có cách khác,cứ tưởng sai không ngờ đúng.em dùng kỹ thuật kiểu cân bằng hệ số trong AM-GM

 

[conga222222]

bài này e còn có cách khác,cứ tưởng sai không ngờ đúng.em dùng kỹ thuật kiểu cân bằng hệ số trong AM-GM

cân bằng như thế nào làm thử coi ?