GTLN và GTNN

M

moon_light301

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các số dương thay đổi thỏa mãn: [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
[TEX]P=\frac{a}{ \sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{ \sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{ \sqrt{c^2+1}}[/TEX]
2, CMR \forall[TEX]a,b,c>0[/TEX], ta có:
[TEX]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}[/TEX]
3, Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thay đổi thỏa mãn: [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]P=\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
 
O

ohmymath

moon_light301 said:
3, Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thay đổi thỏa mãn: [TEX]a+b+c=1[/TEX]. Tìm GTNN của biểu thức:
[TEX]P=\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Chém tạm bài này đã rùi tính :)|:)|:)|

[TEX]P=\frac{3}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{ab+bc+ca}+(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2})[/TEX]
[TEX]\geq\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{9}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{(a+b+c)^2}+\frac{9}{(a+b+c)^2}=12[/TEX]

Vậy Min =12 khi x=y=z=1/3
 
B

bananamiss

moon_light301 said:
2, CMR \forall[TEX]a,b,c>0[/TEX], ta có:
[TEX]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bài này quen thuộc quá ^^

áp dụng : [TEX]\tex{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} (x,y > 0)[/TEX]

[TEX]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c} \geq \frac{4}{2a+4b+2c} =\frac{2}{a+2b+c}[/TEX]

tương tự, cộng vế
 
M

moon_light301

Bài khác nè:
1) ĐTHSG QG 1998: Tìm GTNN của:
[TEX]P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}[/TEX] biết [TEX]x, y[/TEX] là các số thực
2) Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thay đổi thoả mãn abc=1. Tìm GTLN của biểu thức sau bằng cách dùng BDT Bunhiacopsky:
[TEX]P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}[/TEX]
3) Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX].CMR:
[TEX]\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)} \leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}[/TEX]
 
B

bboy114crew

moon_light301 said:
Bài khác nè:
1) ĐTHSG QG 1998: Tìm GTNN của:
[TEX]P=\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+2)^2+(y+2)^2}[/TEX] biết [TEX]x, y[/TEX] là các số thực
2) Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thay đổi thoả mãn abc=1. Tìm GTLN của biểu thức sau bằng cách dùng BDT Bunhiacopsky:
[TEX]P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}[/TEX]
3) Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX].CMR:
[TEX]\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)} \leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1)dùng mincõpki
2)ùng bdt phụ [TEX]a^3+b^3 \geq ab(a+b)[/TEX]
3) biến đổi tương đương
 
O

ohmymath

moon_light301 said:
Bài khác nè:
2) Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] thay đổi thoả mãn abc=1. Tìm GTLN của biểu thức sau bằng cách dùng BDT Bunhiacopsky:
[TEX]P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này cần gì dùng Bunhia nhẩy??
Ta có bất đẳng thức phụ sau:
[TEX]a^3+b^3\geq ab(a+b)[/TEX]
Suy ra [TEX]a^3+b^3+1\geq ab(a+b)+1=ab(a+b+c)[/TEX] (do abc=1)
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{a^3+b^3+1}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}[/TEX]
Tươnhg tự rồi công cả 3 phân thức lại ta đk [TEX]P\leq1[/TEX]
Dấu bằng khi và chỉ khi a=b=c=1!!!!!
 
B

bboy114crew

moon_light301 said:
1, Cho [TEX]a,b,c[/TEX] là các số dương thay đổi thỏa mãn: [TEX]ab+bc+ca=1[/TEX]
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
[TEX]P=\frac{a}{ \sqrt{a^2+1}}+\+-++frac{b}{ \sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{ \sqrt{c^2+1}}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


[TEX]P=\frac{a}{ \sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{ \sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{ \sqrt{c^2+1}}= \frac{a}{ \sqrt{(a+b)(a+c)} }+\frac{b}{ \sqrt{(b+c)(b+a)} }+\frac{c}{ \sqrt{(c+a)(c+b)} [/TEX]
dùng AM-GM!

đến đây ngon rồi!:)>-
 
Last edited by a moderator:
T

thienhoang_0nline

con 1 bai khac ne cho cac so thuc a,b,c biet:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} a^2 + b^2 + c^2 =2 \\ ab + ac +bc =1 \end{array} \right.[/tex]
tim Min,Max cua a,b,c
 
B

bananamiss

thienhoang_0nline said:
con 1 bai khac ne cho cac so thuc a,b,c biet:
[tex]\left\{ \begin{array}{l} a^2 + b^2 + c^2 =2 \\ ab + ac +bc =1 \end{array} \right.[/tex]
tim Min,Max cua a,b,c
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\tex{ \Rightarrow (a+b+c)^2=4 \Leftrightarrow \left[\begin{a+b+c=2}\\{a+b+c=-2}[/TEX]

[TEX]\tex{ xet a+b+c=2 \Leftrightarrow a+b=2-c \\ ab+bc+ca=1 \Leftrightarrow ab=1-ac-bc = 1-c(a+b) =1- c(2-c) = (c-1)^2[/TEX]

do tồn tại a,b nên a,b là 2 nghiệm của pt [TEX] \tex{ x^2 - (2-c) + (c-1)^2 =0 [/TEX]

[TEX]\tex{\exists a,b \Rightarrow \triangle = (c-2)^2-4(c-1)^2 \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq c \leq \frac{4}{3}[/TEX]

tương tự với a,b và với trường hợp còn lại
 
Last edited by a moderator:
B

bboy114crew

bboy114crew said:
[TEX]P=\frac{a}{ \sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{ \sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{ \sqrt{c^2+1}}= \frac{a}{ \sqrt{(a+b)(a+c)} }+\frac{b}{ \sqrt{(b+c)(b+a)} }+\frac{c}{ \sqrt{(c+a)(c+b)} [/TEX]
dùng AM-GM!

đến đây ngon rồi!:)>-
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
mình sửa lại rùi!
jupiter_1996 said:
Chưa hiểu lắm bạn giải thích kĩ được ko làm sao liên he vs ab+bc+ca=1 được
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
đến đây phang AM-GM:
[TEX]\frac{a}{ \sqrt{(a+b)(a+c)} }+\frac{b}{ \sqrt{(b+c)(b+a)} }+\frac{c}{ \sqrt{(c+a)(c+b)}} \geq \frac{1}{2} (\frac{a}{a+b} +\frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c} + \frac{b}{b+a} + \frac{c}{b+c} + \frac{c}{a+c}) = \frac{3}{2}[/TEX]
còn max thì cứ phang thẳng AM-GM ở mẫu!;)
 
J

jupiter_1996

bboy114crew said:
mình sửa lại rùi!

đến đây phang AM-GM:
[TEX]\frac{a}{ \sqrt{(a+b)(a+c)} }+\frac{b}{ \sqrt{(b+c)(b+a)} }+\frac{c}{ \sqrt{(c+a)(c+b)}} \geq \frac{1}{2} (\frac{a}{a+b} +\frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c} + \frac{b}{b+a} + \frac{c}{b+c} + \frac{c}{a+c}) = \frac{3}{2}[/TEX]
còn max thì cứ phang thẳng AM-GM ở mẫu!;)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c} \geq 2\frac{a}{\sqrt{(a+b)(b+c)}} \Rightarrow \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}) \geq \frac{a}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}[/TEX] sao lai \leq duoc
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom