Gtln - gtnn

[thuypro94]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 : Tìm min ,max nếu có của các hàm số :

[TEX]y = sin ( \frac{2 x}{x^2 + 1}) + cos ( \frac{4 x }{x^2 + 1} ) + 1[/TEX]

Bài 2 : Cho x,y # 0 và T/m : [TEX]xy ( x+y+1 ) = x^2 +y ^2[/TEX]

Tìm Max : P = [TEX]\frac{x^3 + y^3}{(xy)^3}[/TEX]



P/s: Nói rõ phần Định hướng giải quyết bài toán cụ thể luôn hộ mình nhé !

 

[maxqn]

Ờh bài 1 trước há
Thay
[TEX]cos(\frac{4x}{x^2+1}) = 1-2sin^2(\frac{2x}{x^2+1})[/TEX]
[TEX]pt \Rightarrow -2sin^2(\frac{2x}{x^2+1}) +sin(\frac{2x}{x^2+1}) + 2 [/TEX]
Đặt [TEX]sin(\frac{2x}{x^2+1}) = t, \ |t| \leq 1[/TEX]
Tới đây xét hàm [TEX]f(t) = -2t^2 +t -2 [/TEX] trên [TEX][-1;1][/TEX] thôi há

Bài 2 thì @_@ T ngu bđt nên thông cảm @_@

 

[pepun.dk]

Đk t

Của bạn chắc chắn sai

Bạn phải xét từ trong ra ngoài

 

[tuyn]

Bài 1 : Tìm min ,max nếu có của các hàm số :
[TEX]y = sin ( \frac{2 x}{x^2 + 1}) + cos ( \frac{4 x }{x^2 + 1} ) + 1[/TEX]

Định hướng:chú ý đến biểu thức [TEX]\frac{2x}{1+x^2}[/TEX]
Lời giải:
Đặt [TEX]t=\frac{2x}{x^2+1} \Rightarrow |t| \leq 1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y=f(t)=sint+cos2t+1=-2sin^2t+sint+2,|t| \leq 1[/TEX]
Đặt [TEX]a=sint.Do:t \in [-1;1] \subset [\frac{-\pi}{2};\frac{\pi}{2}] \Rightarrow a \in [-sin1;sin1][/TEX]
[TEX]y=g(a)=-2a^2+a+2,a \in [-sin1;sin1][/TEX]
Bạn tự làm tiếp nhé:Tìm Min,Max trên 1 đoạn

Bài 2 : Cho x,y # 0 và T/m : [TEX]xy ( x+y+1 ) = x^2 +y ^2[/TEX]
Tìm Max : P = [TEX]\frac{x^3 + y^3}{(xy)^3}[/TEX]

Định hướng:Do các biểu thức là đối xứng nên ta biểu diễn đưa về dạng tổng và tích của x,y
Lời giải:
[TEX]gt \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}[/TEX]
[TEX]P=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}[/TEX]
Đặt:[TEX]a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow gt \Leftrightarrow a+b+ab=a^2+b^2 \Leftrightarrow (a+b)^2 \leq a+b+(\frac{a+b}{2})^2 \Leftrightarrow 0 \leq a+b \leq 4[/TEX]
[TEX]P=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^2 \leq 16[/TEX]
Vậy [TEX]MaxP=16[/TEX]

 

[thuypro94]

Đặt [TEX]sin(\frac{2x}{x^2+1}) = t, \ |t| \leq 1[/TEX]

Cái điều kiện của biểu thức này !?

Cậu chưa đánh giá điều kiện của [TEX]\frac{2x}{x^2+1}[/TEX]

Định hướng:Do các biểu thức là đối xứng nên ta biểu diễn đưa về dạng tổng và tích của x,y

Nếu dùng công cụ đạo hàm để giải thì giải như thế nào cậu nhỉ ?

Bọn tớ đang ở trong chương " Ứng dụng đạo hàm "

 

[tuyn]

Nếu dùng công cụ đạo hàm để giải thì giải như thế nào cậu nhỉ ?

Bọn tớ đang ở trong chương " Ứng dụng đạo hàm "

Vẫn đặt như vậy
Đặt tiếp [TEX]t=a+b \Rightarrow 0 \leq t \leq 4[/TEX]
[TEX]P=f(t)=t^2[/TEX]
Chuyển về tìm MIn,Max trên 1 đoạn (Có sử dụng đến đạo hàm)

 

[thuypro94]

Tiếp bài này !

Bài 3: [TEX]Cho \ a, \ b, \ c \ T/m : \ a + b + c = 3 [/TEX]

[TEX] C/mr : \sqrt{ a^2 - a + 1} + \sqrt{ b^2 - b + 1} + \sqrt{ c^2 - c + 1 } [/TEX] \geq 3



Bài 4: Tìm Min ,Max của :

[TEX]P = 2 ( x^2 + y^2 ) - 3xy [/TEX] với [TEX] x^2 + y^2 = 2 [/TEX]

P/s: :-SS Bài này mình chuyển sang lượng giác tính nó cử lẻ lẻ !??

 

[tuyn]

Bài 3: [TEX]Cho \ a, \ b, \ c \ T/m : \ a + b + c = 3 [/TEX]
[TEX] C/mr : \sqrt{ a^2 - a + 1} + \sqrt{ b^2 - b + 1} + \sqrt{ c^2 - c + 1 } \geq 3 [/TEX]

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
Tìm 2 số x,y sao cho:
[TEX]\sqrt{(a^2-a+1)(x^2+y^2)}=\sqrt{[(a-\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{4})^2](x^2+y^2)} \geq x(a-\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{3}y}{2}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [TEX]y(a-\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{3}x}{2}[/TEX]
Dự đoán dấu "=" trong BĐT là a=b=c=1
[TEX]\Rightarrow y=\sqrt{3}x \Rightarrow chon:x=1,y=\sqrt{3}[/TEX]
Như vậy ta có:
[TEX]2\sqrt{a^2-a+1} \geq a+1[/TEX]
Tương tự ta cũng có:
[TEX]2\sqrt{b^2-b+1} \geq b+1[/TEX]
[TEX]2\sqrt{c^2-c+1} \geq c+1[/TEX]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta có ĐPCM

Bài 4: Tìm Min ,Max của :
[TEX]P = 2 ( x^2 + y^2 ) - 3xy [/TEX] với [TEX] x^2 + y^2 = 2 [/TEX]

[TEX]2|xy| \leq x^2+y^2=2 \Rightarrow -1 \leq xy \leq 1[/TEX]
[TEX]P=4-3xy \Rightarrow 1 \leq P \leq 7[/TEX]
Vậy:
[TEX]MaxP=7 \Leftrightarrow \left{\begin{x^2+y^2=2}\\{xy=-1}\\{x=-y}[/TEX]
[TEX]MinP=1 \Leftrightarrow \left{\begin{x^2+y^2=2}\\{xy=1}\\{x=y}[/TEX]

 

[thuypro94]

Bài 4: Tìm Min ,Max của :

[TEX]P = 2 ( x^2 + y^2 ) - 3xy [/TEX] với [TEX] x^2 + y^2 = 2 [/TEX]

P/s: :-SS Bài này mình chuyển sang lượng giác tính nó cử lẻ lẻ !??

Đặt sin t = [TEX]\frac{x}{ \sqrt2 }[/TEX] và cost = [TEX]\frac{y}{ \sqrt2 }[/TEX]

\Rightarrow [TEX]P = 4 - 6 sint cost = 4 - 3 sin2t [/TEX]

Đặt : [TEX]sin2t = u \ dk \ [/TEX] u thuộc [ -1, 1] \Rightarrow P = 4 - 3u với u thuộc [ -1, 1]

Ta có : P' = - 3 < 0 \Rightarrow P nghịch biến trên [ -1 , 1 ]

\RightarrowMin P = P (1) = 1

Max P = P ( -1) = 7

P/s: Đặt đến 2 lần , hơi dài !

 

[lamoanh_duyenthuc]

cho mình góp bài nhé
1>[TEX]y=\frac{|2a+b|}{\sqrt{a+3b-ab}}[/TEX] với a^2+b^2#0
2>tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số [TEX]y=|x^2-5x+4|+mx[/TEX] lớn hơn 1

 

[lamoanh_duyenthuc]

sao k aj giúp mjnh bài này với nhỉ ...................

 

[phunghungphuc]

Sao toàn dùng bất đẳng thức để chứng minh vậy
dùng đạo hàm đi chứ