- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
hàm số dạng [tex]y=|u(x)|[/tex] trên đoạn [a;b] và [tex]y=(u(x))^{2n}[/tex]
bài toán: tìm GTNN và GTLN của hàm số [tex]y=|u(x)|[/tex] trên đoạn [a;b]. ( [tex]y=|u(x)|[/tex] liên tục trên [a;b] ).
bước 1: tìm GTNN và GTLN của [tex]y=|u(x)|[/tex] trên đoạn [a;b].
- tính [tex]u'(x)[/tex] và giải phương trình [tex]u'(x)=0[/tex], chỉ nhận các nghiệm [tex]x_0\in [a;b][/tex].
- [tex]M=\underset{[a;b]}{max{u(x)}}=max(u(a);u(b);u(x_0))[/tex]
- [tex]m=\underset{[a;b]}{min{u(x)}}=min(u(a);u(b);u(x_0))[/tex]
bước 2:
- [tex]maxy=max\begin{Bmatrix} |M|;|m| \end{Bmatrix}[/tex]
- [tex]miny[/tex] phụ thuộc vào dấu của M và m.
+ trường hợp [tex]m\geq 0[/tex] thì [tex]miny=m[/tex]
+ trường hợp [tex]M\leq 0[/tex] thì [tex]miny=-M[/tex]
+ trường hợp [tex]M.m\leq 0[/tex] thì [tex]miny=0[/tex]
* chú ý:
- [tex]max\begin{Bmatrix} a;b \end{Bmatrix}=\frac{a+b+|a-b|}{2}[/tex]
- [tex]min\begin{Bmatrix} a;b \end{Bmatrix}=\frac{a+b-|a-b|}{2}[/tex]
- [tex]|a|+|b|\geq |a+b|[/tex]. dấu "=" xảy ra khi [tex]a.b\geq 0[/tex]
- [tex]|x_1|+|x_2|+...|x_n|\geq|x_1+x_2+...+x_n|[/tex]
* ví dụ 1: cho [tex]=|x^4-2x^3+x^2+a|[/tex]. có bao nhiêu số nguyên a để GTLN của hàm số trên đoạn [-1;2] không lớn hơn 100.
giải:
xét [tex]u=x^4-2x^3+x^2+a[/tex] trên [1;2].
[tex]u'=0<=>4x^3-6x^2+2x=0<=>x=0\vee x=1\vee x= \frac{1}{2}[/tex]
[tex]M=\underset{[-1;2]}{maxu}=max\begin{Bmatrix} u(-1);u(0);u(\frac{1}{2});u(1);u(2) \end{Bmatrix}=max\begin{Bmatrix} a+4;a+4;a;a;a+\frac{1}{16} \end{Bmatrix}=a+4[/tex]
[tex]m=\underset{[-1;2]}{minu}=a[/tex]
[tex]=>maxy=max\begin{Bmatrix} |a+4|;|a| \end{Bmatrix}[/tex]
+ TH1: [tex]|a+4|\leq |a|\leq 100<=>\left\{\begin{matrix} a^2\geq (a+4)^2\\ -100\leq a\leq 100 \end{matrix}\right.<=>-100\leq a\leq -2[/tex]
+ TH2: [tex]|a|\leq |a+4|\leq 100<=>\left\{\begin{matrix} a^2\leq (a+4)^2\\ -100\leq a+4\leq 100 \end{matrix}\right.<=>-2\leq a\leq 96[/tex]
vậy ta có: [tex]-100\leq a\leq 96[/tex], suy ra có 197 số nguyên a thỏa mãn.
ví dụ 2: cho [tex]y=|\frac{x-m^2+m}{x+1}|[/tex]. GTLN của hàm số trên [1;2] có GTNN là bao nhiêu.
giải:
xét [tex]u=\frac{x-m^2+m}{x+1}[/tex] trên [tex][1;2][/tex] có [tex]u'=\frac{m^2-m+1}{(x+1)^2}> 0,x\in [1;2][/tex]
[tex]\underset{[1;2]}{maxu}=u(2)=\frac{2-m^2+m}{3}[/tex]
[tex]\underset{[1;2]}{minu}=u(1)=\frac{1-m^2+m}{2}[/tex]
[tex]maxy=\begin{Bmatrix} |\frac{1-m^2+m}{2}|;|\frac{2-m^2+m}{3} \end{Bmatrix}=M[/tex]
ta có: [tex]5M\geq 2.|\frac{1-m^2+m}{2}|+3.|\frac{2-m^2+m}{3}|=|1-m^2+m|+|2-m^2+m|\geq |1-m^2+m-2+m^2-m|=1[/tex]
suy ra [tex]M=\frac{1}{5}[/tex]
bài toán: tìm GTNN và GTLN của hàm số [tex]y=|u(x)|[/tex] trên đoạn [a;b]. ( [tex]y=|u(x)|[/tex] liên tục trên [a;b] ).
bước 1: tìm GTNN và GTLN của [tex]y=|u(x)|[/tex] trên đoạn [a;b].
- tính [tex]u'(x)[/tex] và giải phương trình [tex]u'(x)=0[/tex], chỉ nhận các nghiệm [tex]x_0\in [a;b][/tex].
- [tex]M=\underset{[a;b]}{max{u(x)}}=max(u(a);u(b);u(x_0))[/tex]
- [tex]m=\underset{[a;b]}{min{u(x)}}=min(u(a);u(b);u(x_0))[/tex]
bước 2:
- [tex]maxy=max\begin{Bmatrix} |M|;|m| \end{Bmatrix}[/tex]
- [tex]miny[/tex] phụ thuộc vào dấu của M và m.
+ trường hợp [tex]m\geq 0[/tex] thì [tex]miny=m[/tex]
+ trường hợp [tex]M\leq 0[/tex] thì [tex]miny=-M[/tex]
+ trường hợp [tex]M.m\leq 0[/tex] thì [tex]miny=0[/tex]
* chú ý:
- [tex]max\begin{Bmatrix} a;b \end{Bmatrix}=\frac{a+b+|a-b|}{2}[/tex]
- [tex]min\begin{Bmatrix} a;b \end{Bmatrix}=\frac{a+b-|a-b|}{2}[/tex]
- [tex]|a|+|b|\geq |a+b|[/tex]. dấu "=" xảy ra khi [tex]a.b\geq 0[/tex]
- [tex]|x_1|+|x_2|+...|x_n|\geq|x_1+x_2+...+x_n|[/tex]
* ví dụ 1: cho [tex]=|x^4-2x^3+x^2+a|[/tex]. có bao nhiêu số nguyên a để GTLN của hàm số trên đoạn [-1;2] không lớn hơn 100.
giải:
xét [tex]u=x^4-2x^3+x^2+a[/tex] trên [1;2].
[tex]u'=0<=>4x^3-6x^2+2x=0<=>x=0\vee x=1\vee x= \frac{1}{2}[/tex]
[tex]M=\underset{[-1;2]}{maxu}=max\begin{Bmatrix} u(-1);u(0);u(\frac{1}{2});u(1);u(2) \end{Bmatrix}=max\begin{Bmatrix} a+4;a+4;a;a;a+\frac{1}{16} \end{Bmatrix}=a+4[/tex]
[tex]m=\underset{[-1;2]}{minu}=a[/tex]
[tex]=>maxy=max\begin{Bmatrix} |a+4|;|a| \end{Bmatrix}[/tex]
+ TH1: [tex]|a+4|\leq |a|\leq 100<=>\left\{\begin{matrix} a^2\geq (a+4)^2\\ -100\leq a\leq 100 \end{matrix}\right.<=>-100\leq a\leq -2[/tex]
+ TH2: [tex]|a|\leq |a+4|\leq 100<=>\left\{\begin{matrix} a^2\leq (a+4)^2\\ -100\leq a+4\leq 100 \end{matrix}\right.<=>-2\leq a\leq 96[/tex]
vậy ta có: [tex]-100\leq a\leq 96[/tex], suy ra có 197 số nguyên a thỏa mãn.
ví dụ 2: cho [tex]y=|\frac{x-m^2+m}{x+1}|[/tex]. GTLN của hàm số trên [1;2] có GTNN là bao nhiêu.
giải:
xét [tex]u=\frac{x-m^2+m}{x+1}[/tex] trên [tex][1;2][/tex] có [tex]u'=\frac{m^2-m+1}{(x+1)^2}> 0,x\in [1;2][/tex]
[tex]\underset{[1;2]}{maxu}=u(2)=\frac{2-m^2+m}{3}[/tex]
[tex]\underset{[1;2]}{minu}=u(1)=\frac{1-m^2+m}{2}[/tex]
[tex]maxy=\begin{Bmatrix} |\frac{1-m^2+m}{2}|;|\frac{2-m^2+m}{3} \end{Bmatrix}=M[/tex]
ta có: [tex]5M\geq 2.|\frac{1-m^2+m}{2}|+3.|\frac{2-m^2+m}{3}|=|1-m^2+m|+|2-m^2+m|\geq |1-m^2+m-2+m^2-m|=1[/tex]
suy ra [tex]M=\frac{1}{5}[/tex]
