giupd mình cm bdt!

[nguyen_thuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho hàm số [tex] f(x)=ax^2+bx+c [/tex]xác định trên [-1;1] và thỏa mãn các điều kiện sau

[tex] |f(-1)|\leq1,|f(o)|\leq 1 , |f(1)|\leq1 [/tex]

chứng minh rằng

[tex] |f(x)|=<5/4 [/tex] \forallx [-1;1]

 

[vuive_yeudoi]

cho hàm số [tex] f(x)=ax^2+bx+c [/tex]xác định trên [-1;1] và thỏa mãn các điều kiện sau

[tex] |f(-1)|\leq1,|f(0)|\leq 1 , |f(1)|\leq1 [/tex]

chứng minh rằng

[tex] |f(x)|=<5/4 [/tex] \forallx [-1;1]

Theo giả thiết có:
$$\begin{cases} |f(-1)|=|a-b+c| \le 1 \\ |f(0)| =|c| \le 1 \\ |f(1)|=|a+b+c| \le 1 \end{cases}$$
Bây giờ đặt:
$$\begin{cases} A=a-b+c \\ B=c \\ C=a+b+c \end{cases}$$
Có:
$$\begin{cases} |A| \le 1 \\ |B| \le 1 \\ |C| \le 1 \end{cases}$$
Suy ra:
$$\begin{cases}a=\frac{A+C-2B}{2} \\ b=\frac{-A+C}{2} \\ c=B \end{cases}$$
Lúc đó:
$$f(x)=ax^2+bx+c \\ =\left( \frac{A+C-2B}{2} \right) x^2+\left( \frac{-A+C}{2} \right)x+B \\ = \frac{A}{2}.(x^2-x)+B.(1-x^2)+\frac{C}{2}.(x^2+x) $$
Vậy:
$$ |f(x)| \le \frac{1}{2}. |x^2-x|+|1-x^2|+\frac{1}{2}.|x^2+x| $$

Xét các trường hợp:

• Nếu $0 \le x \le 1$ thì:
  $$|f(x)| \le \frac{1}{2}. (x-x^2)+(1-x^2)+\frac{1}{2}.(x^2+x)=1+x-x^2=\frac{5}{4}-(x-\frac{1}{2})^2 \le \frac{5}{4} $$

• Nếu $-1 \le x \le 0$ thì:
  $$|f(x)| \le \frac{1}{2}. (x^2-x)+(1-x^2)-\frac{1}{2}.(x^2+x)=1-x-x^2=\frac{5}{4}-(x+\frac{1}{2})^2 \le \frac{5}{4} $$

Vậy với mọi $x \in [-1;1]$:
$$ |f(x)| \le \frac{5}{4} $$