giúp với bdt khó quá

N

nhockthongay_girlkute

kjhgfdsal said:
cho x, y, z\geq0 va thoa man x+y+z\geq0 .tim gia tri nho nhat cua
P=(x^3+y^3+16.z^3)\(x+y+z)^3
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]P=(\frac{x}{x+y+z})^3+(\frac{y}{x+y+z})^3+16(\frac{z}{x+y+z})^3[/TEX]
đặt [TEX]\frac{x}{x+y+z}=a>0;\frac{y}{x+y+z}=b>0;\frac{z}{x+y+z}=c>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b+c=1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P=a^3+b^3+16c^3[/TEX]
ta có [TEX](a^2+b^2+4c^2)^2\leq (a^3+b^3+16c^3)(a+b+c)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\geq \frac{(a^2+b^2+4c^2)}{a+b+c}=(a^2+b^2+4c^2)^2[/TEX]
mà [TEX](a+b+c)^2\leq (a^2+b^2+4c^2)(1^2+1^2+\frac{1}{16})[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a^2+b^2+4c^2)\geq \frac{16}{33}\Rightarrow P\geq (\frac{16}{33})^2[/TEX]
 
K

kjhgfdsal

giải sai phần cuối rồi
(a+b+c)^2\leq(a^2+b^2+4c^2)(1+1+1/4)
\LeftrightarrowP\geq16/81
 
K

kjhgfdsal

em có một cách giải khác nè .mọi người xem rồi cho ý kiến nha
Áp dụng bdt bunhacõpkxy ta co:
(X^3+Y^3+16Z^3)(X+Y+Z)\geq(X^2+Y^2+4Z^2)^2
\Leftrightarrow((X^3+Y^3+16Z^3)\geq((X^2+Y^2+4Z^2)^2/(X+Y+Z))
Lại có (X^2+Y^2+4Z^2)(1+1+1/4)\geq(X+Y+Z)^2
\Rightarrow X^3+Y^3+16Z^3\geq(X+Y+Z)^3/(81/16)
\LeftrightarrowP\geq16/81\LeftrightarrowX=Y=4Z
 
K

kjhgfdsal

còn một cách hàm số cũng khá hay mà em mới nghĩ ra nè
ta thấy X^3+Y^3\geq(X^3+Y^3)/4 (muốn chứng minh bdt này thi ta chỉ vạêc phân tích thành nhân tử (X+Y)(X-Y)^2\geq0 )
đặt X+Y+Z=u\Rightarrow4P\geq((X+Y)^3+64Z^3)/u^3 = ((u-Z)^3+64Z^3)/u^3=(1-Z/U)^3+64(Z/U)^3
đặt Z/U=t\Rightarrowt thuộc đoạn [0:1]
\Rightarrowf(t)=(1-t)^3+64Z^3
đến đây ta tiếp tục lập bảng biến thiên là ra đó
kết quả là MIN f(t)=f(1/9)=16/81
 
V

vodichhocmai

Xuất phát từ hệ quả của bất đẳng thức [TEX]Holder[/TEX] nó là [TEX]\forall a,b,c,x,y,z,m,n,k>0[/TEX] chúng ta có

[TEX]\huge\blue \(a^3+b^3+c^2\)\(x^3+y^3+z^3\)\(m^3+n^3+k^3\)\ge \(axm+byn+czk\)^3[/TEX]
 
O

ohmymath

Mọi người làm thử bài này bằng nhiều cách được không::D

Cho a;b;c >0. Chứng minh rằng:
2(a^2+b^2+c^2) + 3[TEX]\sqrt{a^2b^2c^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]{(a+b+c)}^2[/TEX]
 
O

ohmymath


Cho a;b;c >0. Chứng minh rằng:
2(a^2+b^2+c^2) + 3[TEX]\sqrt{a^2b^2c^2}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]{(a+b+c)}^2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

hn9atp said:
Sai đề hay sao ý.Căn 3 mới đúng Gmail cậu là gì nhanh lên
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ồ không sai đề 1 tẹo nào đâu cậu ạ!!
Đây là 1 cách :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vs:
[TEX]a^2+b^2+c^2+3\sqrt{a^2b^2c^2}\geq 2(ab+bc+ac)[/TEX]
Ta có : [TEX]3\sqrt{a^2b^2c^2}(a+b+c) \geq 9abc[/TEX] (dùng bất đẳng thức Cối cho 3 số a;b;c!)
[TEX]a^2+b^2+c^2+3\sqrt{a^2b^2c^2}\geq a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c)}[/TEX]
Mặt khác ta có [TEX]a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c)}\geq2(ab+bc+ac)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum a(a-b)(a-c)\geq 0[/TEX]
Đây là bất đẳng thức Schur!!
Ta có điều phải chứng minh :D
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom