Giúp tui với

[nang_tien_vui_ve]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tổng của 2 phân số tối giản là 1 số nguyên. Chứng tỏ rằng mẫu của 2 phân số đó là 2 số bằng nhau hoặc là 2 số đối nhau


~~> Chú ý: không sử dụng quá nhiều icon
p.S: Đã sửa

 

[harrypham]

SOLUTION: Gọi hai phân số đó là $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ với $(a,b)=1, \; (c,d)=1$.
Đặt $$\dfrac{a}{b}+ \dfrac{c}{d}=x \in \mathbb{Z}$$
Hay $$\dfrac{ad+bc}{bd}=x \in \mathbb{Z}$$
Khi và chỉ khi $$ad+bc \; \vdots \; bd$$
1. Ta có $ad+bc \vdots b$ và $bc \vdots b$ nên $ad \vdots b$ mà $(a,b)=1$ nên $d \vdots b$.
2. Ta có $ad+bc \vdots d$ và $ad \vdots d$ nên $bc \vdots d$ mà $(c,d)=1$ nên $b \vdots d$.

Từ hai điều trên ta suy ra $\boxed{b= \pm d}$.