giup tớ vơi'!!!

[phuthuytoanhoc_9y]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1
cho n\geq 1 n thuộc N
CMR: [TEX]1^2 + 2^2 + 3^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]

bài 2
cho x,y>0 và x+y=1 tìm giá trị lớn nhất của [TEX]P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})[/TEX]

bài 3cho a,b ,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác
CMR [TEX]a^2 +b^2 + c^2< 2ab+ 2bc+2ac[/TEX]

bài 4
cho 0\leq a,b,c \leq1 CMR [TEX]a+ b^2 + c^3 -ab-bc-ca \leq 1[/TEX]

bài 5
tìm nghiệm thuộc Z của phương trình
a) xy-4x=35-5y
b) [TEX] x^2 + x+ 6=y^2[/TEX]

bài 6
cho [TEX]M= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a}[/TEX]
[TEX]N= \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}[/TEX]
CMR : M=1 thì N =0

Chiều 3/7 nộp rùi

Chú ý latex

 

[quynhnhung81]

bài 1
cho n\geq 1 n thuộc N
CMR: [TEX]1^2 + 2^2 + 3^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]

Giải quyết bài này đã
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Với n=1 thì đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức luôn đúng với n=k (k >1, k thuộc N),nghĩa là:
[TEX]1^2 + 2^2 + 3^2+...+k^2= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}[/TEX]

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1, tức là
[TEX]1^2 + 2^2 + 3^2+...+(k+1)^2= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/TEX]
Thật vậy ta có
[TEX]1^2 + 2^2 + 3^2+...+(k+1)^2[/TEX]
[TEX]=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2[/TEX]
[TEX]=(k+1)(\frac{2k^2+7k+6}{6})=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} (dpcm)[/TEX]

Bài 5: [TEX]a) xy-4x=35-5y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(y-4)=-5(y-4)+15[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y-4)(x+5)=15[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=... ; y=....[/TEX]
Bài 2 thì chỉ tìm dc GTNN, còn giá trị nhỏ nhất thì =((

 

[cobebuongbinh_97]

bài 1
cho n\geq 1 n thuộc N
CMR: [TEX]1^2 + 2^2 + 3^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]
bài 3cho a,b ,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác
CMR [TEX]a^2 +b^2 + c^2< 2ab+ 2bc+2ac[/TEX]

Bài 1: Ta có:[TEX] 1^2+2^2+3^2+...+n^2 [/TEX]
= 1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)+...+n.(n+1-1)
= 1.2-1+2.3-2+3.4-3+...+n.(n+1)-n
= [1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)]-(1+2+3+...+n)
[TEX]= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
[TEX]= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX] \Rightarrow đ.p.c.m
Bài 2: Vì a,b,c là 3 cạnh của tam giác
[TEX] \Rightarrow a<b+c \Rightarrow a^2<ab+ac [/TEX] (*)
Tương tự: [TEX]b^2<ab+bc [/TEX] ; [TEX]c^2<ac+bc [/TEX] (*)(*)
Từ (*) và (*)(*) [TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)[/TEX] \Rightarrow đ.p.c.m

 

[tuyn]

bài 5
tìm nghiệm thuộc Z của phương trình
b) [TEX] x^2 + x+ 6=y^2[/TEX]

[TEX]PT \Leftrightarrow 4x^2+4x+24=4y^2 \Leftrightarrow (2x+1)^2+23=4y^2 \Leftrightarrow (4y^2-(2y+1)^2=23 \Leftrightarrow (2y-2x-1)(2y+2x+1)=23=1.23=23.1=(-1).(-23)=(-23).(-1) \Rightarrow 4 HPT......[/TEX]

 

[tuyn]

bài 2
cho x,y>0 và x+y=1 tìm giá trị lớn nhất của [TEX]P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})[/TEX]

Ta có: [TEX]P=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}=\frac{(x-1)(x+1)(y-1)(y+1)}{x^2y^2}=\frac{xy(1+x)(1+y)}{x^2y^2}=\frac{(1+x)(1+y)}{xy}=\frac{1+x+y+xy}{xy}=1+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}[/TEX]
[TEX]xy \leq (\frac{x+y}{2})^2=\frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{xy} \geq 4 [/TEX]
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} =4[/TEX]
\Rightarrow [TEX]P \geq 1+4+4=9 khi x=y=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[khanhtoan_qb]

bài 1
cho n\geq 1 n thuộc N
CMR: [TEX]1^2 + 2^2 + 3^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]

Cách khác nè:
Ta có: [TEX](a + 1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1[/TEX]
\Rightarrow [TEX]1^3 = 0^2 + 3.0^2 + 3. 0 + 1[/TEX]
[TEX]2^3 = 1^2 + 3.1^2 + 3. 1 + 1[/TEX]
....
[TEX]n^3 = (n - 1)^3 + 3(n - 1)^2 + 3. (n - 1) + 1[/TEX]
[TEX](n + 1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1[/TEX]
Cộng theo vế rùi rút gọn được
[TEX](n + 1)^3 = 3(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) + 3(1 + 2 + 3+ .. + n) + n + 1[/TEX]
\Rightarrow[TEX](n + 1)^3 - 3\frac{n(n + 1)}{2} - n - 1 = 3(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{2n^3 + 6.n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 3n - 2n - 2 }{6}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}[/TEX]

 

[duongtuanqb]

bài 2
cho x,y>0 và x+y=1 tìm giá trị lớn nhất của [TEX]P=(1-\frac{1}{x^2})(1-\frac{1}{y^2})[/TEX]

<=> [TEX]P=[(1+\frac{1}{x^2y^2})-(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})][/TEX]
<=> [TEX]P=-[(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-(\frac{1}{x^2y^2}+1)][/TEX]
theo cosy ta có:
[TEX]\frac{1}{x^2y^2}+1\geq2\frac{1}{xy}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq2\frac{1}{xy}[/TEX]
trừ vế theo vế
[TEX]P=(\frac{1}{x^2y^2}+1)-(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})\geq0[/TEX]
<=> [TEX]P=-[(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-(\frac{1}{x^2y^2}+1)]\leq0[/TEX]
vậy P đạt GTLN là 0 khi

 

[linhhuyenvuong]

bài 6
cho [TEX]M= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a}[/TEX]
[TEX]N= \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}[/TEX]
CMR : M=1 thì N =0

_________________________
[TEX]M =1[/TEX]
[TEX]\Rightarrow M. (a+b+c)=a+b+c[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})(a+b+c)=a+b+c[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{a^2+a(b+c)}{b+c}+\frac{b^2+b(a+c}{a+c}+\frac{c^2+c(a+b)}{a+b}=a+b+c[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{a+c}+b+\frac{c^2}{a+b}+c= a+b+c[/TEX]

\Rightarrow[TEX]N=0[/TEX]

P/s: trog NC vaPT

 

[tuyn]

<=> [TEX]P=[(1+\frac{1}{x^2y^2})-(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})][/TEX]
<=> [TEX]P=-[(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-(\frac{1}{x^2y^2}+1)][/TEX]
theo cosy ta có:
[TEX]\frac{1}{x^2y^2}+1\geq2\frac{1}{xy}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq2\frac{1}{xy}[/TEX]
trừ vế theo vế
[TEX]P=(\frac{1}{x^2y^2}+1)-(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})\geq0[/TEX]
<=> [TEX]P=-[(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})-(\frac{1}{x^2y^2}+1)]\leq0[/TEX]
vậy P đạt GTLN là 0 khi

SAI TRẦM TRỌNG RỒI. KHÔNG CÓ BĐT:
A \leq B VÀ C \leq D \Rightarrow A-C \leqB-D ĐÂU
VÍ DỤ: 1 < 2 VÀ 0 < 3 THẤY NGAY MÀ
vỚI LẠI BÀI NAY CÓ
[TEX]P=\frac{(x^2-1)(y^2-1)}{x^2y^2}=\frac{(1-x^2)(1-y^2)}{x^2y^2} > 0 [/TEX]
vì 0 < x,y <1

~> Chú ý mem không dùng chữ màu đỏ :|

 

[tuyn]

bài này P ko có GTLN vì sau khi biến đổi ta được [TEX]P=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}[/TEX]
Khi x dần tới 0 và y dần tới 1 thì P dần tới +\infty