Giúp tớ với các bạn ơi !

[thienlong_cuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CÂU 1 :
Cho a,b,c là các số dương sao cho a^4 + b^4 + c^4 = 3 .
CMR : 1/(4-ab) + 1/(4-bc) + 1/(4-ac) \leq 1

CÂU 2 :
Tìm số nguyên dương a , m , p thoả mãn 5^p - 2^p = a^m , trong đó p là 1 số nguyên tố và m>1

CÂU 3:
Cho x,y là các số thực dương thoả mãn x^3 + y^3 = x-y . CMR : x^4 + 4y^2 <1

GIÚP MÌNH NHANH NHANH LÊN NHA CÁC BẠN .

 

[quan8d]

CÂU 3:
Cho x,y là các số thực dương thoả mãn x^3 + y^3 = x-y . CMR : x^4 + 4y^2 <1

GIÚP MÌNH NHANH NHANH LÊN NHA CÁC BẠN .

Ta c/m [tex]x^2+ (2+2\sqrt{2})y^2 [/tex] \leq 1
Ta có : 1=[tex]\frac{x^3+y^3}{x-y}=\frac{x^3-y^3+2y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2+ \frac{2y^3}{x-y}[/tex]
= [tex] x^2+(2+2\sqrt{2})y^2+(xy+\frac{2y^3}{x-y}-(1-2\sqrt{2})y^2)[/tex]
= [tex] x^2+(2+2\sqrt{2})y^2+y.\frac{M}{x-y}[/tex]
với M = [TEX]x(x-y)+2y^2-(1+2\sqrt{2})(x-y)y[/TEX]
= [tex]x^2-(2+2\sqrt{2})xy+(3+2\sqrt{2})y^2[/tex]
= [tex]x^2-2x(1+\sqrt{2})y+(1+\sqrt{2})y^2[/tex]
= [tex](x-(1+\sqrt{2})y)^2[/tex]\geq0
suy ra[tex] x^2+(2+2\sqrt{2})y^2[/tex] \leq1
nên [tex]x^2 + 4y^2[/tex] \leq 1
Mặt khác : [tex]x^2+xy+y^2 <1[/tex] (tự cm)
=> x<1 => [tex]x^4 < x^2[/tex]
Vậy [tex]x^4+4y^2 <1[/tex]
_____________________
quan8d

 

[rua_it]

CÂU 1 :
Cho a,b,c là các số dương sao cho a^4 + b^4 + c^4 = 3 .
CMR : 1/(4-ab) + 1/(4-bc) + 1/(4-ac) \leq 1
[/B]

[tex]\frac{1}{4-ab} \leq \frac{1}{4-\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{2}{8-a^2-b^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS:=\sum_{cyclic} \frac{1}{4-ab} \leq \sum_{cyclic} \frac{2}{8-(a^2+b^2)}[/tex]

[tex]Dat: \left{\begin{x=(b^2+c^2)^2}\\{y=(c^2+a^2)^2}\\{z=(a^2+b^2)^2}[/tex]

Cần chứng minh: [tex] \sum_{cyclic} \frac{2}{8-\sqrt{x}} \leq 1[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{8-\sqrt{x}} \leq \frac{1}{2}[/tex]

[tex]x+y+z=(b^2+c^2)^2+(c^2+a^2)^2+(a^2+b^2)^2 \leq 4.\sum_{cyc} a^4=12[/tex]

[tex]\Rightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{8-\sqrt{x}} \leq \sum_{cyc} \frac{a}{144}+\frac{15}{36}=\frac{a+b+c}{144}+ \frac{15}{36} \leq \frac{1}{12}+\frac{15}{36}=RHS[/tex]