Giúp mình

[baoden2012]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b,c > 0 thỏa mãn: ab+bc+ca = 1
Chứng minh rằng
[TEX]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}[/TEX]

 

[truongduong9083]

mình giúp bạn nhé

Ta có
+ [TEX]\frac{1}{ab} - 1 = \frac{ab+bc+ca}{ab} - 1 = \frac{c(a+b)}{ab}[/TEX]
+ [TEX]\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}= \sqrt{\frac{a^2+1}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^2+ab+bc+ca}{a^2}} =\sqrt{ \frac{(a+b)(a+c)}{a^2}}[/TEX]
Tương tự các đẳng thức còn lại ta viết bất đẳng thức lại như sau
[TEX]\frac{c(a+b)}{ab}+\frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(c+a)}{ca} \geq \sqrt{ \frac{(a+b)(a+c)}{a^2}}+ \sqrt{ \frac{(b+c)(b+a)}{b^2}}+\sqrt{ \frac{(c+a)(c+b)}{c^2}} [/TEX]
Đặt
[TEX]x = \frac{c(a+b)}{ab};y= \frac{a(b+c)}{bc}; z = \frac{b(c+a)}{ca}[/TEX]
Bất đẳng thức trở thành
[TEX]x+y+z \geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}[/TEX]
Điều này luôn đúng rồi nhé