giúp mình với

[kimlongsd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn a+b+c=1.chứng minh rằng:

[TEX]ab+bc+ca-2abc \leq \fr{7}{27}[/TEX]

 

[songthuong_2535]

Trả lời:

- Vì a, b, c \geq 0 nên ab, bc, ca, abc \geq 0
Có:

+) [TEX]a^2 [/TEX] \geq [TEX]a^2[/TEX] - [TEX](b-c)^2[/TEX]=(a+b-c)(a-b+c)=(1-2c)(1-2b) (1)
=> Tương tự ta có: [TEX]b^2[/TEX] \geq (1-2a)(1-2c) (2); [TEX]c^2[/TEX] \geq (1-2a)(1-2b) (3)

- Từ (1), (2) và (3) ta có:
abc\geq(1-2a)(1-2b)(1-2c)=1-2(a+b+c) + 4(ab+bc+ac) - 8abc
<=> ab+bc+ca\leq[TEX]\frac{1+9abc}{4}[/TEX]
<=> ab+bc+ca-2abc\leq[TEX]\frac{1+abc}{4}[/TEX] (4)

Mặt khác: a+b+c\geq3[TEX]\sqrt[3]{abc}[/TEX] <=> abc\leq[TEX]\frac{1}{27}[/TEX]

=> (4) trở thành: ab+bc+ca-2abc\leq[TEX]\frac{7}{27}[/TEX]

=> Điều phải chứng minh

* Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=[TEX]\frac{1}{3}[/TEX]