Tớ không rõ là HF có phải đường cao hay không. Do đề không cho rõ nhưng nếu HF là đường cao thì ta chứng minh thế này :
Hình bạn tự vẽ nha...
Xét tứ giác AFHE có :
Góc A = 90 độ ( gt )
Góc F = 90 độ ( HF là đường cao )
Góc E = 90 độ ( HE là đường cao )
=> Tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( tứ giác có 3 góc vuông )
=> EF bằng AH ( Hai đường chéo trong hình chữ nhật bằng nhau ) (1)
Cho AH giao EF ở O.
=> OE = OF = 1/2 EF và OA = OH = 1/2 AH ( Do hai đường chéo của hình chữ nhật giao nhau tại trung điểm của mỗi đường ) (2)
Từ (1) và (2) => AO = OE
Xét tam giác EAO có :
AO = OE ( cmt )
=> tam giác EAO cân tại O
=> góc OEA = góc OAE
mà góc OAE = góc OHF ( so le trong do AE song song HF ) => góc OEA = góc OHF
Xét tam giác AEF ( có góc A = 90 độ ) và tam giác FCH ( có góc F = 90 độ ) có :
Góc AEO + góc AFE = 90 độ ( tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông )
Góc FHC + góc OHF = 90 độ ( hai góc phụ nhau )
Góc OEA = góc OHF ( cmt )
=> Góc AFE = góc FHC
=> tam giác AEF đồng dạng tam giác FCH ( góc - góc ) (3)
Xét tam giác ABC ( có góc A = 90 độ ) và tam giác FHC ( có góc F = 90 độ ) có :
Góc C chung
=> tam giác ABC đồng dang tam giác FHC ( góc - góc ) (4)
Từ (3) và (4) => tam giác AEF đồng dang tam giác ACB
___________________________________________________
Xét tam giác ABC ( có góc A = 90 độ ) :
AH là đường cao ( gt ). Áp dụng hệ thức giữa cạnh huyền và đường cao trong tam giác vuông, ta có :
AB^2 = BH.BC
AC^2 = CH.BC
=> AB^2/AC^2 = (BH.BC)/(CH.BC)=BH/CH
=> BH^2/CH^2 = AB^4/AC^4 (7)
Xét tam giác ABH ( có góc H = 90 độ ) có :
HE là đường cao ( gt )
=> BH^2 = BE.AB => BE = BH^2/AB (5)
Xét tam giác ACH ( có góc H = 90 độ ) có :
HF là đường cao ( gt )
=> CH^2 = CF.AC => CF = CH^2/AC (6)
Từ (5) và (6) => BE/CF = (BH^2/AB)/(CH^2/AC) (8)
Từ (7) và (8) => BE/CF = (AB^4/AB)/(AC^4/AC) = AB^3/AC^3
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
