Ý tưởng:
Chúng ta chứng minh bài này theo con đường sau:
[TEX]\sum \frac{1}{a+b+1} \leq \sum \frac{1}{2+a} \leq 1[/TEX]
Chứng minh đoạn đầu : [TEX]\sum \frac{1}{a+b+1} \leq \sum \frac{1}{2+a} [/TEX]
Đặt :[TEX]p=a+b+c ; q=ab+bc+ca ; r=abc[/TEX]
Ta có: [TEX]VT = \sum \frac{1}{p+1-a} = \frac{x}{y}[/TEX]
Với [TEX]x= \sum_{sym} (1+a+b)(1+a+c)= p^2+4p+3+q[/TEX]
[TEX]y= (p+1-a)(p+1-b)(p+1-c)=p^2+2p+pq+q[/TEX]
[TEX]VT= \sum \frac{1}{2+a}= \frac{12+4p+q}{9+4p+2q}[/TEX]
Ta phải chứng minh: [TEX]\frac{p^2+4p+3+q}{p^2+2p+pq+q} \leq \frac{12+4p+q}{9+4p+2q}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{q-3}{9+4p+2q} \leq \frac{pq-2p-3}{p^2+2p+pq+q}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (q-3)(p^2+2p+pq+q) \leq (pq-2p-3)(9+4p+2q)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (3q-5)p^2+(p-1)q^2 + 6pq \geq 24p+3q+27[/TEX]
Vì [TEX]abc=1 \Rightarrow p,q \geq 3[/TEX], do đó:
[TEX]VT \geq 4p^2+2q^2+6pq \geq 12p+6(q-1)p +6p+2q^2 \geq 24p+3q+ (q^2+6p) \geq VP.[/TEX]
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh: [TEX]\sum \frac{1}{2+a} \leq 1[/TEX]
Ta có: [TEX]1- \frac{2}{2+a}+ 1- \frac{2}{2+b}+ 1-\frac{2}{2+c} \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{a}{2+a} \geq 1[/TEX]
-Tồn tại các số thực u,v,t sao cho: [TEX]a=u/v;b=v/t;c=t/u[/TEX] (Vì [TEX]abc=1[/TEX])
Ta phải chứng minh: [TEX]\sum \frac{u/v}{2+ u/v} \geq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sum \frac{u}{u+2v} \geq 1[/TEX]
Bất đẳng thức này được chứng minh dễ dàng bằng Schwarz.
Kết hợp 2 cái lại ta có đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn