Giúp mình hai câu này với

[lephuonghoang90]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
[TEX]\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^2}{(ca+2)(2ca+1)}\geq \frac{1}{3}[/TEX]
Câu 2. Cho x, y là hai số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[TEX]P=\sqrt{(x-30)^2+4y^2}+\sqrt{(x+30)^2+4y^2}+ |y- 2010|[/TEX]

 

[jet_nguyen]

Bài 2:
Bạn thử tham khảo hướng này xem nhé.
Ta có BĐT sau:
Với mọi $a,b,c,d \in R$ thì:
$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}$ \geq $\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$
Vậy thì áp dụng BĐT trên ta có:
$P=\sqrt{(x-30)^2+4y^2}+\sqrt{(x+30)^2+4y^2}+|y-2010|$
$=\sqrt{(30-x)^2+4y^2}+\sqrt{(x+30)^2+4y^2}+\sqrt{y-2010)^2}$ \geq $\sqrt{(30-x+x+30)^2+(2y+2y)^2}+\sqrt{(y-2010)^2}$
Do đó: $P$ \geq $\sqrt{16y^2+60^2}+\sqrt{(y-2010)^2}$
Tới đây bạn xét hàm nữa là tìm được min.

 

[jet_nguyen]

Bài 1:
Mình có cách củ chuối này, bạn tham khảo nha.
Ta có:
$\dfrac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}=\dfrac{a^2c^2}{(1+2c)(2+c)}$ \geq $\dfrac{4a^2c^2}{9(c+1)^2}$ (Cauchy).
Nên:
$\dfrac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\dfrac{b^2}{(bc+2)(2bc+1)}+\dfrac{c^2}{(ca+2)(2ca+1)}$\geq $\dfrac{4a^2c^2}{9(c+1)^2}+\dfrac{4b^2a^2}{9(a+1)^2}+\dfrac{4c^2b^2}{9(b+1)^2}$
Do: $abc=1$ nên ta đặt: $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$, vì thế:
$$\dfrac{4a^2c^2}{9(c+1)^2}+\dfrac{4b^2a^2}{9(a+1)^2}+\dfrac{4c^2b^2}{9(b+1)^2}$$
$=\dfrac{4}{9}\left[ \left( \dfrac{xz}{yz+xy} \right)^2+ \left( \dfrac{xy}{yz+yz} \right)^2+\left( \dfrac{yz}{xz+xy} \right)^2 \right]$ \geq $\dfrac{4}{9.3}\left(\dfrac{xz}{yz+xy}+\dfrac{xy}{yz+yz}+ \dfrac{yz}{xz+xy} \right)^2=\dfrac{4.3^2}{9.3.2^2}=\dfrac{1}{3}$. (Nesbit)