Đặt
a=x−1;b=y−1;c=z−1
suy ra
a;b;c∈[−2;2];a+b+c=0⇒c=−a−b
Ta có
(ab)(bc)(ca)=a2b2c2≥0
chứng tỏ là trong 3 số
ab;bc;ca tồn tại ít nhất một số không âm . giả sử
ab≥0
Vì
c∈[−2;2]⇒c2≤4
⇔c2+c2≤8
⇔(−a−b)2+c2≤8
⇔a2+b2+c2+2ab≤8
Vì
ab≥0⇒a2+b2+c2≤8
⇔(x−1)2+(y−1)2+(z−1)2≤8
⇔x2+y2+z2−2(x+y+z)+3≤8
⇔x2+y2+z2≤11