Giúp mình chứng minh BĐT này nhé các bạn

[haink]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số:
[TEX]a,b,c>0 ; ab+bc+ca=1[/TEX]

CMR:

[tex]\sqrt {{a^3} + a} + \sqrt {{b^3} + b} + \sqrt {{c^3} + c} \ge 2\sqrt {a + b + c} [/tex]

 

[haink]

Cho 3 số:
[TEX]a,b,c>0 ; ab+bc+ca=1[/TEX]

CMR:

[tex]\sqrt {{a^3} + a} + \sqrt {{b^3} + b} + \sqrt {{c^3} + c} \ge 2\sqrt {a + b + c} [/tex]

Trước tiên chúng ta có rằng
[TEX]\blue\sum_{cyclic}^{a,b,c\ge 0} a\(a-b\)\(a-c\)\ge 0\leftrightarrow \(a+b+c\)^3+9abc\ge 4\(a+b+c\)\(ab+bc+ca\) \downarrow[/TEX]

[TEX]\sum_{cyclic}\sqrt{a^3+a}= \sum_{cyclic}\sqrt{a^2\(a+b+c\)+abc}\ge \sqrt{\(a+b+c\)\(a+b+c\)^2+9abc}\righ \uparrow [/TEX]

 

[nhokkg]

[TEX]\sum_{cyclic}\sqrt{a^3+a}= \sum_{cyclic}\sqrt{a^2\(a+b+c\)+abc}\ge \sqrt{\(a+b+c\)\(a+b+c\)^2+9abc}\righ \uparrow [/TEX]

Xin lỗi anh kimxakiem. Nhưng anh vodichhocmai chỉ kiểu đó thì tốt hơn là đừng nói j, tụi e là hs mà hướng dẫn vậy sao hiểu được.

 

[ybfx]

Cho 3 số:
[TEX]a,b,c\geq0 ; ab+bc+ca=1[/TEX]

CMR:

[tex]P=\sqrt {{a^3} + a} + \sqrt {{b^3} + b} + \sqrt {{c^3} + c} \ge 2\sqrt {a + b + c} [/tex]

Bạn làm thế này nhé:

[tex]\sqrt {{a^3} + a} = \sqrt {{a^3} + a\left( {ab + bc + ca} \right)} = \sqrt {{a^2}\left( {a + b + c} \right) + abc} [/tex]

[tex]\sqrt {{b^3} + b} = \sqrt {{b^3} + b\left( {ab + bc + ca} \right)} = \sqrt {{b^2}\left( {a + b + c} \right) + abc} [/tex]

[tex]\sqrt {{c^3} + c} = \sqrt {{c^3} + c\left( {ab + bc + ca} \right)} = \sqrt {{c^2}\left( {a + b + c} \right) + abc} [/tex]

Đặt:

[tex]\vec{u} = \left( {\sqrt {{a^2}\left( {a + b + c} \right)} ;\,\,\sqrt {abc} } \right) \Rightarrow \left| {\vec{u} \right| = \sqrt {{a^2}\left( {a + b + c} \right) + abc} = \sqrt {{a^3} + a} [/tex]

[tex]\vec{v} = \left( {\sqrt {{b^2}\left( {a + b + c} \right)} ;\,\,\sqrt {abc} } \right) \Rightarrow \left| {\vec{v} \right| = \sqrt {{b^2}\left( {a + b + c} \right) + abc} = \sqrt {{b^3} + b} [/tex]

[tex]\vec{w} = \left( {\sqrt {{c^2}\left( {a + b + c} \right)} ;\,\,\sqrt {abc} } \right) \Rightarrow \left| {\vec{u} \right| = \sqrt {{c^2}\left( {a + b + c} \right) + abc} = \sqrt {{c^3} + c} [/tex]

[TEX]\left| {\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} \right|=\sqrt {{{\left( {a + b + c} \right)}^3} + 9abc}[/TEX]

Theo bất đẳng thức vectơ, ta có:

[TEX]\left| {\vec{u} \right|+\left| {\vec{v} \right|+\left| {\vec{w} \right|\geq\left| {\vec{u}+\vec{v}+\vec{w} \right|[/TEX]

Do đó ta có:

[TEX]\sqrt {{a^3} + a} + \sqrt {{b^3} + b} + \sqrt {{c^3} + c}\geq\sqrt {{{\left( {a + b + c} \right)}^3} + 9abc}[/TEX]

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

[TEX]\sqrt {{{\left( {a + b + c} \right)}^3} + 9abc}\geq2\sqrt {a + b + c}\Leftrightarrow {(a + b + c)}^3+9abc\geq4(a+b+c)(*)[/TEX]

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: [TEX]a\geq b\geq c[/TEX]
Ta nhận thấy:

[TEX]a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0(**)[/TEX]

Thật vậy:

[TEX](**)\Leftrightarrow(a-b)[a(a-c)-b(b-c)]+c(c-a)(c-b)\geq 0(***)[/TEX]

Ta có: [TEX]a-c\geq b-c\geq 0[/TEX] và [TEX]a\geq b\geq 0[/TEX] nên nhân vế theo vế ta được:

[TEX]a(a-c)\geq b(b-c)[/TEX]

Do đó các số hạng ở [TEX](***)[/TEX] đều không âm. Vậy [TEX](***)[/TEX] đúng, do đó [TEX](**)[/TEX] đúng.


([TEX](**)[/TEX] chính là BĐT Schur, với r = 1)

Mà: [TEX](**)\Leftrightarrow {(a + b + c)}^3+9abc\geq4(a+b+c)[/TEX] (Bạn tự biến đổi sẽ hiểu)

Vậy [TEX](*)[/TEX] đúng. Dấu [TEX]"="[/TEX] xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a=b=c[/TEX] hoặc 2 trong 3 số đó bằng nhau và số còn lại bằng 0.

Bài toán được chứng minh.

 

[haink]

Em đã hiểu rồi ạ, cảm ơn thầy nhiều lắm. Bài này khó quá, chờ mãi mà ko thấy ai giúp cả, anh chàng vodichhocmai thì hướng dẫn như nhà pác học í

kimxakiem2507:

[TEX]*[/TEX] Em và [TEX]ybfx[/TEX] sử dụng chung một đường net hay sao mà cùng một địa chỉ IP?

[TEX]*[/TEX] Nếu hai người là một thì chỉ nên xài một nick thôi!

Em là học sinh, gần với trường thầy Hải (ybfx) nên xài ké mạng WiFi.