giúp mình câu c với

[chip_chip0147]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC vuông tại A nửa đương tròn đường kính AB cắt BC tại D trên cung AD lấy điểm E nối BE và kéo dài cắt AC tại F
a/ cm CDEF nội tiếp
b/kéo dài DE cắt AC ở K tia phân giác CKD cắt EF và CD tại M và N tia phân giác CBF cắt DE CF tại P và Q tg MPNQ là hình gì
c/r ,r1,r2 lần lượt là bán kính của các đường tròn nội tiếp tam giác ABC,ADB,ADC cmr r^2=r1^2+r2^2

 

[huongmot]

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông:
$r=\frac{a+b-c}{2}$
Xét $\triangle ABC$
$r= \dfrac{AB+AC-BC}{2}$
$\rightarrow r^2= \dfrac{AB^2+AC^2+BC^2+2(AB.AC+ AC.BC-AB.BC}{4}$
$\rightarrow r^2=\dfrac{2BC^2+2(AB.AC- AC.BC-AB.BC}{4}$
$\rightarrow r^2=\dfrac{BC^2+AB.AC- AC.BC-AB.BC}{2}(1)$

Tương tự
$\triangle ADB$
$r_1^2=\dfrac{AB^2+AD.DB- AB.DB-AB.AD}{2}(2)$
$\triangle ADC$
$r_2^2=\dfrac{AC^2+CD.AD- AC.DC-AC.AD}{2}(3)$
$(2)+(3)= \dfrac{AB^2+AC^2+AD.DB- AB.DB-AB.AD+CD.AD- AC.DC-AC.AD}{2}$
$=\dfrac{BC^2+ AD(DC+DB)-AB.DB-AB.AD-AD.AC-AC.CD}{2}$
$=\dfrac{BC^2+AD.BC+AB.DB-AB.AD-AD.AC-AC.CD}{2}(4)$
*$\triangle ABC$ có AD là đường cao
$\rightarrow AD.BC=AB.AC$
$\triangle ADC\sim\triangle BAC$
$\rightarrow \frac{CD}{AC}= \frac{AD}{AB}$
$\rightarrow CD.AB=AC.AD$
$\triangle ADB \sim \triangle CAB$
$\rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{AD}{AC}$
$\rightarrow DB.AC=AB.AD$
Thay vào (4)
$=\dfrac{BC^2+ AB.AC -AB.DB-AC.DB-AB.CD-AC.CD}{2}$
$=\dfrac{BC^2+AB.AC-AB(DB+CD)-AC(DB+CD)}{2}$
$=\dfrac{BC^2+AB.AC-AB.BC-AC.BC}{2}(5)$
Từ(1)(5) $\rightarrow r^2=r_1^2+r_2^2$