Giúp mình câu BĐT khó

[1um1nhemtho1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ cho a,b,c>0 và ab+bc+ac=3. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
2/ cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{2}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq 1[/TEX]

 

[h0cmai.vn...tru0ng]

Giải


Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức sau :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}$\geq$ab+bc+ac$=3
Ta có :
$(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\frac{1}{1+c^{2}})(1+a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2})$\geq$9$
~~> $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\frac{1}{1+c^{2}}$\geq$3/2$(ĐPCM)
P.S : Dạo này cứ lơ tơ mơ làm sao ý nhầm dấu ... thanks mod đã nhắc @};-

Hết nhầm dấu rồi nhé


Nhầm dấu nhá

 

[1um1nhemtho1]

Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức sau :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}$\geq$ab+bc+ac$=3
Ta có :
$(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\frac{1}{1+c^{2}})(1+a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2})$\geq$9$
~~> $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\frac{1}{1+c^{2}}$\geq$3/2$(ĐPCM)
P.S : Dạo này cứ lơ tơ mơ làm sao ý nhầm dấu ... thanks mod đã nhắc @};-

Hết nhầm dấu rồi nhé


Nhầm dấu nhá

hình như bạn có chút nhầm lẫn. vì $(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}})(1+a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2})$\geq$9$ tương đương với
$(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}})$\geq$\frac{9}{1+a^2+1+b^2+1+c^2}$ mà ($1+a^2+1+b^2+1+c^2$) \geq 6 => $\frac{9}{1+a^2+1+b^2+1+c^2}$ \leq $\frac{3}{2}$ dẫn tới
$(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}})$\geq$\frac{9}{1+a^2+1+b^2+1+c^2}$ \leq$\frac{3}{2}$. ( không suy ra được ĐPCM). mình mong các bạn giúp đỡ để tìm ra lời giải

 

[h0cmai.vn...tru0ng]

hình như bạn có chút nhầm lẫn. vì $(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}})(1+a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2})$\geq$9$ tương đương với
$(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}})$\geq$\frac{9}{1+a^2+1+b^2+1+c^2}$ mà ($1+a^2+1+b^2+1+c^2$) \geq 6 => $\frac{9}{1+a^2+1+b^2+1+c^2}$ \leq $\frac{3}{2}$ dẫn tới
$(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}})$\geq$\frac{9}{1+a^2+1+b^2+1+c^2}$ \leq$\frac{3}{2}$. ( không suy ra được ĐPCM). mình mong các bạn giúp đỡ để tìm ra lời giải

Xin lỗi nhá ... dạo này khả năng chứng minh bdt mình hơi yếu . (
Bạn thử làm cách này xem : $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1+a^{2}}{4}$\geq1 (1)
Tương tự với b và c rồi cộng lại . ~~> đpcm

P.S thành thật xin lỗi nhé ... cách này mà sai nữa là chết

 

[1um1nhemtho1]

có gì đâu mà phải xin lỗi bạn

Xin lỗi nhá ... dạo này khả năng chứng minh bdt mình hơi yếu . (
Bạn thử làm cách này xem : $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1+a^{2}}{4}$\geq1 (1)
Tương tự với b và c rồi cộng lại . ~~> đpcm

P.S thành thật xin lỗi nhé ... cách này mà sai nữa là chết

cách này cũng bị ngược dấu bạn ơi.
Mình thử áp dụng cả cauchy ngược dấu rồi cả biến đổi tương đương nữa cũng không được.

P/S : Bài này khó quá @@. Bạn khách sáo thế, bạn đang giúp mình mà, xin lỗi làm gì .
Dù sao mình cũng cảm ơn bạn nhiều nhé. Chúc bạn học tốt !

 

[huytrandinh]

bài 1
ta có bdt tương đương với
$\sum \dfrac{a^{2}}{a^{2}+1}\leq \dfrac{3}{2}$
$<=>\sum \dfrac{a^{2}}{3+3a^{2}}\leq \dfrac{1}{2}$
$.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq \dfrac{4}{x+y}$
$=> \sum \dfrac{a^{2}}{3+3a^{2}}=\sum \dfrac{a^{2}}{a(a+b+c)+bc+2a^{2}}$
$\leq \sum \dfrac{1}{4}(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{a^{2}}{bc+2a^{2}})$
$=\dfrac{1}{4}+\sum \frac{a^{2}}{4(bc+2a^{2})} (1)$
$.\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\geq \dfrac{9}{x+y+z}$
$=> \sum \frac{(bc)^{2}}{(bc)^{2}+2a^{2}bc}$
$\geq \dfrac{(bc+ac+ab)^{2}}{(ab+bc+ac)^{2}}=1$
bài 2
ta đặt
$a=\dfrac{xy}{z^{2}},b=\dfrac{yz}{x^{2}},c=\dfrac{xz}{y^{2}}$
ta được bất đẳng thức ban đầu là
$\sum \dfrac{x^{4}}{(x^{2}+yz)^{2}}+\dfrac{2(xyz)^{2}}{(x^{2}+yz)(y^{2}+xz)(z^{2}+xy)}\geq 1 (1)$
$.(x^{2}+yz)^{2}\leq (x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2}) (BCS)$
$=>VT(1)$
$\geq \sum \dfrac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}+\dfrac{2(xyz)^{2}}{(x^{2}+yz)(y^{2}+xz)(z^{2}+xy)}=A$
$.\sum \dfrac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x^{2}+z^{2})}$
$=1-\dfrac{2(xyz)^{2}}{(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})(x^{2}+z^{2})}$
$=>A\geq 1$
$<=>(x^{2}+y^{2})(y^{2}+z^{2})(x^{2}+z^{2})$
$\geq (x^{2}+yz)(y^{2}+xz)(z^{2}+xy)$
bất đẳng thức cuối dùng BCS là ra rồi