Giúp mình câu BĐT khó

[1um1nhemtho1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/cho a,b,c > 0 sao cho ab+bc+ac=3. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
2/cho a,b,c >0 và abc=1
chứng minh:
[TEX]\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq\1[/TEX]

 

[anhprokmhd123]

trả lời

1/cho a,b,c > 0 sao cho ab+bc+ac=3. Chứng minh:
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
2/cho a,b,c >0 và abc=1
chứng minh:
[TEX]\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq\1[/TEX]

bài 1
áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarts ta có
[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq[TEX]\frac{{1+1+1}^2}{a^2+b^2+c^2+3}[/TEX]=[TEX]\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc}[/TEX]
mà $ a^2+b^2+c^2$\geq$ab+ac+bc$( dễ chứng minh băng cách nhân cả 2 vế với 2 rồi chuyển vế đưa về tổng 3 bình phương)
\Rightarrow[TEX]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq[TEX]\frac{9}{2(ab+ac+bc)}[/TEX]=[TEX]\frac{9}{6}[/TEX]=[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]
dấu bằng xảy ra \Leftrightarrow$ a=b=c=1$