Giúp mình các bài toán về dãy số...

[meobachan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng mình rằng dãy số ( [TEX]v_n[/TEX]) với [TEX]v_n = \frac{n^2 +1}{2n^2 - 3} [/TEX] là 1 dãy số bị chặn.
2. Cho dãy số [TEX]u_n[/TEX] xác định như sau:
[TEX]u_1[/TEX] = 1 ; [TEX]u_n[/TEX] = [TEX]\frac{1}{{u}_{n-1}}[/TEX] với n [TEX]\geq 2[/TEX]
3. Cho dãy số u(n) xác9 định như sau:
[TEX]u_1[/TEX] = [TEX]u_2[/TEX] =1 ; [TEX]u_n[/TEX] = [TEX]{u}_{n-2}[/TEX] + 2[TEX] {u}_{n-1}[/TEX] với n [TEX]\geq 3[/TEX]
Chứng minh mọi số hạng của dãy số này đều là số lẻ.

 

[jet_nguyen]

1. Chứng mình rằng dãy số ( [TEX]v_n[/TEX]) với [TEX]v_n = \frac{n^2 +1}{2n^2 - 3} [/TEX] là 1 dãy số bị chặn.

ta có: [TEX]v_n = \frac{n^2 +1}{2n^2 - 3} =1-\frac{1}{2(2n^2 - 3)} [/TEX]
với mọi n thuộc [tex]N^{*}[/tex] [tex] -1 \leq \frac{1}{2(2n^2 - 3)} \leq \frac{1}{5} \Rightarrow -1 \leq v_n = \frac{n^2 +1}{2n^2 - 3} \leq \frac{3}{5}[/tex]
\Rightarrow dãy bị chặn

 

[meobachan]

với mọi n thuộc [tex]N^{*}[/tex] [tex] -1 \leq \frac{1}{2(2n^2 - 3)} \leq \frac{1}{5} [/QUOTE] Mình không hiểu chỗ này, bạn có thể giải thích rõ không?[/tex]

 

[jet_nguyen]

ta có [tex]n \geq 1 [/tex]
khi [tex] n=1 [/tex] => [tex] -1 \leq \frac{1}{2(2n^2 - 3)}[/tex]
khi [tex] n \geq 2 [/tex] => [tex]\frac{1}{2(2n^2 - 3)} \leq \frac{1}{5}[/tex]

mà câu 2 là tìm gì thế, còn câu 3 mình nghĩ chỉ cần tìm công thức tổng quát là ra thôi

 

[meobachan]

Câu 2 ấy mình làm được rồi. Cám ơn bạn. .

 

[duynhan1]

1. Chứng mình rằng dãy số ( [TEX] \Large v_n[/TEX]) với [TEX] \Large v_n = \frac{n^2 +1}{2n^2 - 3} [/TEX] là 1 dãy số bị chặn.

Ta có :
[TEX] \Large 2v_n = \frac{2n^2 + 2}{2n^2 - 3} = 1 + \frac{5}{2n^2 - 3} [/TEX]

Với [TEX] \Large n = 1[/TEX] ta có : [TEX] \Large 2 v_n =1 + \frac{5}{ 2.1 -3} = - 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)[/TEX]

Với [TEX] \Large n \ge 2 [/TEX] ta có :

[TEX] \Large 2.2^2 - 3 \le 2n^2 - 3[/TEX]

[TEX] \Large \Rightarrow 0 <\frac{5}{2n^2 - 3} \le 1 \\ \Leftrightarrow 1 < 2v_n \le 2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)(*)[/TEX]

Từ [TEX] \Large (*) & (*)(*)[/TEX], ta có :

[TEX] \Large -4 \le 2v_n \le 2 [/TEX]

[TEX] \Large \Leftrightarrow -2 \le v_n \le 1 [/TEX]

Vậy dãy [TEX] \Large (v_n) [/TEX]bị chặn

2. Cho dãy số [TEX] \Large u_n[/TEX] xác định như sau:
[TEX] \Large \left{ u_1= 1 \\ u_n = \frac{1}{{u}_{n-1}} \ voi\ n \ge 2 \right. [/TEX]

Không rõ yêu cầu đề là gì. Nhưng bằng quy nạp ta chứng minh được mọi số hạng của dãy đều là 1.

3. Cho dãy số u(n) xác9 định như sau:
[TEX] \Large u_1 =u_2 =1 ; [TEX] \Large u_n = {u}_{n-2} + 2 {u}_{n-1} \ voi\ n\ge 3 [/TEX]
Chứng minh mọi số hạng của dãy số này đều là số lẻ.

Điều này đúng với n=1 và n=2.

Giả sử điều đó đúng với [TEX] \Large n = k (k \ge 2) [/TEX].
[TEX] \Large Tuc\ la:\ u_k \ la\ so\ le[/TEX].

Ta sẽ chứng minh [TEX] \Large u_{k+1}[/TEX] cũng là số lẻ.
Thật vậy ta có :
[TEX] \Large u_{k+1} = u_{k} + 2u_{k-1} \ la\ so\ le\ do\ \left{ u_k \ le \\ 2u_{k-1} \ chan \right. [/TEX]

Theo nguyên lý quy nạp thì ta có mọi số hạng của dãy đều là số lẻ.