giúp mình BDT này với

[quangsang3d]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CHO A,B,C >= 1 . CMR :

 

[silver_nmt]

Với [tex]a,b \geq 1[/tex],ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1:
[tex]\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}[/tex]
Bổ đề có thể chứng minh khá đơn giản bằng cách quy đồng mẫu số.
Bây giờ,ta có:
[tex]\frac{1}{1+a^3} + \frac{1}{1+b^3} + \frac{1}{1+c^3} + \frac{1}{1+abc} \geq \frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}} + \frac{2}{1+\sqrt{c^3abc}} \geq \frac{4}{1+\sqrt{\sqrt{a^3b^3}\sqrt{c^3abc}}} = \frac{4}{1+abc}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{1+a^3} + \frac{1}{1+b^3} + \frac{1}{1+c^3} \geq \frac{3}{1+abc}[/tex]
Lại có: [tex]\sum\frac{1}{1+a^2} \geq \sum\frac{1}{1+a^3} \Rightarrow dpcm[/tex]