Toán Giúp mình bài toán dùng BĐT Cauchy để chứng minh

[thien_than_dem]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng mình rằng : với mọi a,b,c > 0 có :
[TEX]\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi nào ?

 

[p_trk]

bạn tách (a+b)/c=a/c+b/c và áp dụng cauchy cho a/c và b/c
tương tự cho (b+c)/a và (c+a)/b
sau đó lại cauchy 3 số ở vế P
=> Đpcm

 

[luckystudent97]

VT=a/c + b/c + b/a + c/a + c/b + a/b
=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(b/a+a/b)
Áp dụng bdt AM-GM cho từng cặp số trên có:
a/c+c/a \geq 2
b/c+c/b \geq 2
b/a+a/b\geq 2
Cộng vế theo vế của các bdt trên \Rightarrow (ĐPCM)
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c
Cảm ơn giùm
"Phong độ là nhất thời đẳng cấp là mãi mãi"
>->->->->->-

 

[thaisonb1]

cách 2:
cộng 3 vào cả 2 về BĐT.
Sau đó áp dụng BĐT cauchy cho 3 số:a;b;c và 1/a;1/b;1/c.
Ta CM được VT>=9
=>BĐT đã dk CM

 

[braga]

Chứng mình rằng : với mọi a,b,c > 0 có :
[TEX]\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \geq 6[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi nào ?

Ta có: [TEX]\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}[/TEX]

[TEX]=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}[/tex] [tex]+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}[/TEX]

[TEX]=\left (\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right )+\left (\frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+\left (\frac{c}{b}+\frac{b}{c} \right )[/TEX]

[TEX]\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}=6[/TEX]
​

Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=d[/TEX]

 

[son9701]

Chứng mình rằng : với mọi a,b,c > 0 có :
[TEX]\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi nào ?

1 cách giải khác:
[TEX]\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}\frac{c+a}{b}+3=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX](1)
Mặt khác:
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/TEX](2)
Từ (1) và (2)
[TEX]\Rightarrow \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+3\geq 9[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}+\frac{c+a}{b}\geq 6[/TEX](đpcm)
Cách này hình như có thể áp dụng cho nhiều bài hơn thj` phải.Nhưng chỉ tội là ...dài hơn(

Tuy nhiên,có cách khác hình như vẫn là hơn để có thể áp dụng vào những bài khác

 

[Duy Khang]

giúp mình bài này vs mấy bạn
cho x,y>0.tìm gtnn của biểu thức q=(x+y)^3/(x*y^2)