giúp mình bài này với!

[chocolate_dethuong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B.Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có bán kính theo thứ tự là AB, BC, AC. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có bán kính AC,CB theo thứ tự tại M, N.
a, Tứ giác DCMN là hình gì? Vì sao?
b, Chứng minh hệ thức DM.DA=DN.DB
c, Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC và CB
d, Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?

 

[nganltt_lc]

Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B.Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có bán kính theo thứ tự là AB, BC, AC. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có bán kính AC,CB theo thứ tự tại M, N.
a, Tứ giác DCMN là hình gì? Vì sao?
b, Chứng minh hệ thức DM.DA=DN.DB
c, Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính AC và CB
d, Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?

Có vài chỗ trên đề bài bạn ghi là bán kính phải sửa thành đường kính mới đúng.

Giải :

a) Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn tâm O.
AB là đường kính nên tam giác ABD vuông tại D.

Hay : [TEX]\widehat{ADB}=90^0[/TEX]

Tương tự ta có :

[TEX]\widehat{DMC}=90^0;\widehat{DNC}=90^0[/TEX]

Tứ giác DNCM có :

[TEX]\widehat{ADB}=\widehat{DMC}=\widehat{DNC}=90^0[/TEX]

\Rightarrow DNCM là hình chữ nhật ( theo dấu hiệu nhận biết )

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào các tam giác ADC và BDC có :
[TEX]DC^2 = DM.AD[/TEX]
[TEX]DC^2 = DN.DB[/TEX]
[TEX]\Rightarrow DM.AD=DN.DB ( dpcm)[/TEX]

c) Ta có :
MO" = O"C ( Vì M và C cùng thuộc đường tròn tâm O" )
\Rightarrow tam giác MCO" cân tại O"
[TEX]\Rightarrow \widehat{O"MC}=\widehat{O"CM}(1)[/TEX]

Ta lại có :
[TEX]\widehat{DCM}+\widehat{O"CM} = 90^0(2)[/TEX]

Mặt khác :
[TEX]\widehat{NMC}=\widehat{DCM} (3)[/TEX] ( tính chất hình chữ nhật )

Từ (1) ; (2) và (3) suy ra :
[TEX]\widehat{O"MC}+\widehat{NMC}=90^0 [/TEX]

Hay : [TEX]\widehat{O"MN}=90^0 \Rightarrow MN \perp O"M[/TEX]

\Rightarrow MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O".
Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O'.
Vậy MN là tiếp tuyến chung cảu hai đường tròn tâm O' và O".

d) Ta có :

[TEX]AC = 2CO" ; BC = 2CO'[/TEX]

[TEX]\Rightarrow AB = AC + BC = 2 ( CO" + CO' ) = 2O'O"[/TEX]

[TEX]\Rightarrow O'O" = \frac{AB}{2}[/TEX]

Vì O"MNO' là hình thang vuông nên ta có :

[TEX]MN \leq O'O"[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow MN \leq \frac{AB}{2}[/TEX]

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi MN // O'O''.

Vậy : [TEX]Max MN = \frac{AB}{2} \Leftrightarrow MN // O'O"[/TEX]