giúp mình bài hằng đẳng thức này vớí

[batuoctieuthu13]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a+b+c=0,CMR: 2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)
Đảm bảo cực khó,giúp mình nha

 

[tiendat102]

a+b+c = 0 => a+b = -c
Ta có:
[TEX]a^3 + b^3 +c^3=[/TEX][TEX]a^3+b^3 -(a+b)^3 = a^3 + b^3 - a^3-b^3 - 3ab(a+b) = 3abc[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a^3 + b^3 +c^3)(a^2 + b^2 +c^2) =[/TEX][TEX]3abc(a^2 + b^2 +c^2) [/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^5 +b^5+c^5 + a^2b^2(a+b) + a^2c^2(a+c) + b^2c^2(b+c) = 3abc(a^2 + b^2 +c^2) [/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^5 +b^5+c^5 - c.a^2b^2 -b.a^2c^2 -a.b^2c^2 = 3abc(a^2 + b^2 +c^2) [/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^5 +b^5+c^5 - abc(ab+ac+bc) = 3abc(a^2 + b^2 +c^2) [/TEX] (*)
do a+b+c = 0 \Rightarrow [TEX]-(a^2 +b^2 +c^2)/2 = (ab+ac+bc)[/TEX] thay vào (*):
[TEX]a^5 +b^5+c^5 + abc(a^2 +b^2 +c^2)/2 = 3abc(a^2 + b^2 +c^2)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2(a^5 +b^5+c^5) = 6abc(a^2 + b^2 +c^2) - abc(a^2 +b^2 +c^2) = 5abc(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

 

[cry_with_me]

t có cách cm khác. cách này bạn chỉ tham khảo thôi.....hơi khó
có:
a+b+c=0
=> $(a+b)^5= (-c)^5$

\Leftrightarrow $a^5 + b^5 + c^5 = 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4$

sau 1 quá trình phân tích bạn đc
.... 5abc($a^2 + ab + b^2$)

=> 2($a^5 + b^5 + c^5$)=5abc($2a^2 + 2ab + 2b^2$)

hay ta cần cm
5abc($a^2 + b^2 + c^2$)=5abc($2a^2 + 2ab+2b^2$)

VP= 5abc($(a+b)^2 + a^2 + b^2 $)

=5abc.($c^2 + a^2 + b^2$)

=>VT=VP (dpcm)