![](https://blog.hocmai.vn/wp-content/uploads/2017/07/hot.gif)
![](https://blog.hocmai.vn/wp-content/uploads/2017/07/hot.gif)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình x^2 +y^2 = (y^2 + 1 )
[imath]x^2+y^2=(y^2+1)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2+y^2=y^4+2y^2+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow y^4+y^2+1-x^2=0[/imath] (*)
Đặt [imath]y^2=t (t \geq 0 và t \in \mathbb{Z})[/imath] khi đó [imath]y^4=y^2.y^2=t.t=t^2[/imath]
Nên phương trình trở thành:
[imath]t^2+t+1-x^2=0[/imath]
Do [imath]t \geq 0[/imath] nên để phương trình có nghiệm [imath]t[/imath] không âm thì
[imath]x_1.x_2\geq 0[/imath] hay [imath]1-x^2 \geq 0[/imath] hay [imath]x^2 \leq 1[/imath]
hay vế đều dương nên lấy căn 2 vế:
[imath]\sqrt{x^2}\leq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow |x| \leq 1[/imath] (lưu ý: [imath]\sqrt{x^2}=|x|[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thực)
Sử dụng định lí:
Nếu [imath]a \geq 0[/imath] thì [imath]|x|\leq a \Leftrightarrow -a \leq |x|\leq a[/imath]
với [imath]a=1[/imath]
Ta có: [imath]|x| \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1[/imath]
Vì [imath]x[/imath] nguyên nên [imath]x[/imath] có thể là [imath]-1,0,1[/imath]
Thay [imath]x=1[/imath] vào phương trình ban (*)ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=1\\y^4+y^2=0 \end{cases}[/imath]
Giải phương trình dưới ta có nghiệm [imath]y=0[/imath] vậy hệ tương đương:
[imath]\begin{cases} x=1\\y=0 \end{cases}[/imath]
nên ta có nghiệm [imath](x,y)=(1,0)[/imath]
Tương tự thế [imath]x=-1[/imath] vào (*) ta có nghiệm [imath](x,y)=(-1,0)[/imath]
Với [imath]x=0[/imath] thì ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=0\\y^4+y^2+1=0 \end{cases}[/imath]
Phương trình dưới vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm [imath](x,y)[/imath] là [imath](1,0)[/imath] và [imath](-1,0)[/imath].
Chúc bạn học tốt !
[imath]x^2+y^2=(y^2+1)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x^2+y^2=y^4+2y^2+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow y^4+y^2+1-x^2=0[/imath] (*)
Đặt [imath]y^2=t (t \geq 0 và t \in \mathbb{Z})[/imath] khi đó [imath]y^4=y^2.y^2=t.t=t^2[/imath]
Nên phương trình trở thành:
[imath]t^2+t+1-x^2=0[/imath]
Do [imath]t \geq 0[/imath] nên để phương trình có nghiệm [imath]t[/imath] không âm thì
[imath]x_1.x_2\geq 0[/imath] hay [imath]1-x^2 \geq 0[/imath] hay [imath]x^2 \leq 1[/imath]
hay vế đều dương nên lấy căn 2 vế:
[imath]\sqrt{x^2}\leq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow |x| \leq 1[/imath] (lưu ý: [imath]\sqrt{x^2}=|x|[/imath] với mọi [imath]x[/imath] thực)
Sử dụng định lí:
Nếu [imath]a \geq 0[/imath] thì [imath]|x|\leq a \Leftrightarrow -a \leq |x|\leq a[/imath]
với [imath]a=1[/imath]
Ta có: [imath]|x| \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq x \leq 1[/imath]
Vì [imath]x[/imath] nguyên nên [imath]x[/imath] có thể là [imath]-1,0,1[/imath]
Thay [imath]x=1[/imath] vào phương trình ban (*)ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=1\\y^4+y^2=0 \end{cases}[/imath]
Giải phương trình dưới ta có nghiệm [imath]y=0[/imath] vậy hệ tương đương:
[imath]\begin{cases} x=1\\y=0 \end{cases}[/imath]
nên ta có nghiệm [imath](x,y)=(1,0)[/imath]
Tương tự thế [imath]x=-1[/imath] vào (*) ta có nghiệm [imath](x,y)=(-1,0)[/imath]
Với [imath]x=0[/imath] thì ta có hệ:
[imath]\begin{cases} x=0\\y^4+y^2+1=0 \end{cases}[/imath]
Phương trình dưới vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm [imath](x,y)[/imath] là [imath](1,0)[/imath] và [imath](-1,0)[/imath].
Chúc bạn học tốt !
bạn có lời d=giải đúng chưa cho mình xin với