Giúp mình bài bất đẳng thức này với.

[sumosim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 2 số thực x,y thỏa mãn
[tex]1\geq x \geq y > 0[/tex]
CMR:
[tex]\frac{x^3y^2 + y^3 + x^2}{x^2 + y^2 + 1} \geq xy[/tex]

 

[bigbang195]

cho 2 số thực x,y thỏa mãn
[tex]1\geq x \geq y > 0[/tex]
CMR:
[tex]\frac{x^3y^2 + y^3 + x^2}{x^2 + y^2 + 1} \geq xy[/tex]

Tương đương
[TEX]f(x)=x^3y^2+y^3+x^2 -( x^3y+y^3x+xy) \ge 0[/TEX]
[TEX]f(x)'=3x^2y^2+2x-3x^2y+y^3+y[/TEX]
[TEX]f(x)''=6xy^2+2-6xy \ge 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1-3xy(1-y) \ge 0[/TEX]
theo AM-GM [TEX]3xy(1-y) \le \frac{(x+y+1-y)^3}{9}=\frac{(1+x)^3}{9}[/TEX]
mặt khác [TEX]1 \ge \frac{(1+x)^3}{9}[/TEX] do ([TEX]x \le 1[/TEX])
[TEX]f(x)[/TEX] là hàm lõm, cực trị đạt tại [TEX]f(1)[/TEX] hoặc[TEX] f(y) [/TEX]
[/B]
[TEX]f(1) >0[/TEX] và [TEX]f(y)=0[/TEX]