[FONT="]Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:[/FONT]
[TEX]x^3[/TEX][FONT="]+[/FONT][TEX]y^3[/TEX]-3xy([TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX])+4[TEX]x^2y^2[/TEX](x+y)-4[TEX]x^3y^3[/TEX]=0
[FONT="]
[/FONT]
[FONT="]Tìm giá trị nhỏ nhất của M=x + y.[/FONT]
điều kiện bài toán tương đương
[TEX]\begin{array}{l}\left( {b - \frac{a}{2}} \right)\left( {4b^2 - 2\left( {3 + a} \right)b + 2a^2 } \right) = 0(1) \\ a = x + y;b = xy,a;b > 0 \\ (1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = \frac{a}{2} \\ 4b^2 - 2\left( {3 + a} \right)b + 2a^2 = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}[/TEX]
Xét
[TEX]b = \frac{a}{2}[/TEX] ta cần điều kiện [TEX]a^2 \ge 4b = > a \ge 2[/TEX]
Xét [TEX]4b^2 - 2\left( {3 + a} \right)b + 2a^2 = 0[/TEX](2)
ta cần tìm điều kiện của a sao cho pt(2) có nghiệm thỏa mãn [TEX]b \le \frac{{a^2 }}{4}[/TEX](3)
Chú ý thấy
[TEX]P = \frac{{a^2 }}{2} > 0;S = \frac{{\left( {3 + a} \right)}}{2} > 0,f(\frac{{a^2 }}{4}) = \frac{{a^4 - 2a^3 + 2a^2 }}{4} > 0[/TEX]
cho nên (3) thỏa mãn khi chỉ có một trường hợp là cả hai nghiệm của (2) đều dương và bé hơn
[TEX]\frac{{a^2 }}{4}[/TEX]
Điều này tương đương với [TEX]\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0 \\ S = \frac{{\left( {3 + a} \right)}}{2} \le \frac{{a^2 }}{2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9 + 6a - 7a^2 \ge 0 \\ a^2 - a - 3 \ge 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \emptyset [/TEX]
Vậy x+y min khi x+y=2;xy=1 hay x=y=1
p/s ta cũng có thể giải từ đoạn xét pt(2) bằng cách là chỉ cần tìm những giá trị a;b sao cho a<2 nhưng lại có (2) có [TEX]P = \frac{{a^2 }}{2} > \left( {\frac{{a^2 }}{4}} \right)^2 ;S = \frac{{\left( {3 + a} \right)}}{2} > \frac{{a^2 }}{2}[/TEX]
cho nên với a<2 thì pt(2) nếu có nghiệm thì luôn có 2 nghiệm [TEX]b_{1,2} > \frac{{a^2 }}{4}[/TEX]
do đó mina=2
@ae97: cách đó hiển nhiên sai
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn