Chết em Nhầm
[TEX]\frac{ab}{a^3+b^3+a^2c+b^2c}+\frac{bc}{b^3+c^3+b^2a+c^2a}+\frac{ca}{c^3+a^3+c^2b+a^2b} \le \frac{3}{4}[/TEX]
Ta có :
[TEX]ab+bc+ca=3abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3[/TEX]
Ta có :
[TEX]a^2+b^2\geq2ab[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b)(a^2+b^2-ab) \geq ab(a+b)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^3+b^3 \geq ab(a+b)[/TEX]
Ta lại có :
[TEX]a^2c+b^2c \geq 2abc[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{ab}{a^3+b^3+a^2c+b^2c}\leq \frac{ab}{ab(a+b+2c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{ab}{a^3+b^3+a^2c+b^2c} \leq \frac{1}{(a+c) + (b+c)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{ab}{a^3+b^3+a^2c+b^2c} \leq \frac{1}{16} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c}) [/TEX] (nhờ áp dụng BDT [TEX] \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{a+b}[/TEX] )
Tương tự cho 2 cái còn lại ta được điều phải chứng minh