Câu 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng:
- Các tứ giác AEHF nội tiếp.
- Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
- AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
- H và M đối xứng nhau qua BC.
- Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
1. Xét tứ giác AEHF có:[tex]\widehat{AFH}=\widehat{AEH}(=90°)[/tex] Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
=> Tứ giác AEHF nt
2. Xét tứ giác BCEF có: 2 góc [tex]\widehat{BFC}[/tex] và [tex]\widehat{BEC}[/tex] là 2 góc kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc không đổi
=> Tứ giác BCEF nt.
=> 4 điểm B, C, E cùng nằm trên 1 đường tròn
3. Xét [tex]\Delta AEH[/tex] và [tex]\Delta AED[/tex]
[tex]\widehat{CAD}: chung[/tex]
[tex]\widehat{AEH}=\widehat{ADC}(=90°)[/tex] => [tex]\Delta AEH[/tex]~[tex]\Delta ADC[/tex] (gg)
=> [tex]\frac{AE}{AH}=\frac{AD}{AC}[/tex]
=> AE.AC= AH.AD
Diện tích [tex]\Delta ABC=\frac{1}{2}.BC.AD=\frac{1}{2}.BE.AC[/tex]
=> AD.BC=BE.AC
4. Có: [tex]\widehat{AHF}=\widehat{CHM}(đđ)[/tex]
[tex]\widehat{AHF}=90°-\widehat{BAM}[/tex]
[tex]\widehat{ABC}=90°-\widehat{BAM}[/tex]
=> [tex]\widehat{ABC}=\widehat{AHF}[/tex]
Lại có: [tex]\widehat{ABC}=\widehat{AMC}(2 góc nt cùng chắn \widetilde{AC)}[/tex]
=> [tex]\widehat{AMC}=\widehat{CHM}[/tex]
=> [tex]\Delta CHM[/tex] cân ở C
Mà: CD là đường cao của HM
=> CD là đường trung trực của HM
=> HD=HM
=> H và M đối xứng với nhau qua BC
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
