chứng minh ohương trình sau có nghiệm với mọi a,b,c:
ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ac(x-c)(x-a)
[tex]Dat:f(x) = ab.(x-a)(x-b) + bc.(x-b)(x-c) + ca.(x-c)(x-a) = 0[/tex]
Dễ thấy rằng f(x) liên tục trên tập R và nếu 2 trong 3 số a, b, c bằng nhau thì f(x) = 0 ,\forall x
Xét a, b, c khác nhau đôi một.
[tex]f(a) = bc(a-b)(a-c)[/tex]
[tex]f(b) = ca(b-c)(b-a)[/tex]
[tex]f(c) = ab(c-a)(c-b)[/tex]
Giả sử [tex] a, b, c \not =\ 0[/tex](Vì nếu a, b hay c = 0 thì f(x) hiển nhiên có nghiệm.
[tex]\mathrm{Xet:}f(a).f(b) = -c^2.ab(a-b)^2.(a-c).(b-c)[/tex]
Đánh giá:
[tex]\mathrm{Xet:} f(c) \in\ (0;+\infty) \Rightarrow f(a).f(b)<0[/tex]
[tex]\mathrm{Xet:} f(c) \in\ (0;-\infty) [/tex]
Note:Nếu tổng 2 số bất kỳ lớn hơn không thì \exists ít nhất một số hạng lớn hơn không.
[tex]\Rightarrow f(a) + f(b) = bc(a-b)(a-c) + ca(b-c)(b-a)= c.(a-b).(ac - bc) = c^2(a-b)^2 > 0[/tex]
\Rightarrow \exists 1 trong 2 giá trị f(a), f(b) phải dương. Giả sử đó là f(a).
[tex]\Rightarrow f(a).f(c) < 0[/tex]
Vậy với mọi a,b,c bất kỳ kỳ thì pt trên luôn có nghiệm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn