Giúp em gấp với các bài này!

[kimtaehyungbts]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Chứng minh:
1 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^2014 = 5^2015 - 4 / 4

2)Tìm GTLN:
a) C = 5 - 8x - x^2
b) D= -3x.(x+2) - 7

3)Chứng minh: với M thuộc Z thì:
a) m^3 + 5m chia hết cho 6
b) (2n-1)^3 - (2n-1) chia hết cho 8

3) Chứng minh rằng với a b >0
a) a^5 - b^5 \geq a^2.b^2.(a+b)
b) (a+b)(1/a + 1/b)\geq 4

Mong mọi người giúp đỡ! Bài này em cảm thấy khó nên chỉ nhờ được mọi người!

 

[iceghost]

1) Đặt $S = 1 + 5 + 5^2 + \cdots + 5^{2014}$
$\implies 5S = 5 + 5^2+ 5^3+ \cdots + 5^{2015} \\
\implies 5S-S = (5 + 5^2+ 5^3+ \cdots + 5^{2015})-(1 + 5 + 5^2 + \cdots + 5^{2014}) \\
\iff 4S = 5^{2015} - 1 \\
\iff S = \dfrac{5^{2015}-1}{4}$


2)
$a)C = 5 - 8x - x^2 \\
=-(x^2+8x-5) \\
=-(x^2+8x+16-21) \\
=-(x+4)^2+21 \le 21 \\
\implies \textrm{Max}_C = 21 \iff x+4=0 \iff x=-4$

$b)D= -3x.(x+2) - 7 \\
= -3x^2-6x-7 \\
=-3(x^2+2x+\dfra3) \\
=-3(x^2+2x+1-1+\dfra3) \\
=-3[(x+1)^2+\dfrac{43}] \\
=-3(x+1)^2-4 \le -4 \\
\implies \textrm{Max}_D = -4 \iff x+1=0 \iff x=-1$


3)
$a)m^3 + 5m \\
=m^3-m+6m \\
=m(m^2-1)+6m \\
=m(m+1)(m-1)+6m$
Vì $m(m+1)(m-1)$ là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên sẽ có $1$ số chia hết cho $2$, $1$ số chia hết cho $3$
Mà $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau
$\implies m(m+1)(m-1)\quad \vdots \quad 2.3=6$
$\implies m(m+1)(m-1)+6m \quad \vdots \quad 6$

$b)(2n-1)^3 - (2n-1) \\
=(2n-1)[(2n-1)^2-1] \\
=(2n-1)[(2n-1)+1][(2n-1)-1] \\
=(2n-1).2n.(2n-2) \\
=(2n-1).2n.2(n-1) \\
=4n(n-1)(2n-1) \; (1)$
+Với $n=2k$
$(1) \iff 4.2k.(2k-1)(2.2k-1) \\
=8k(2k-1)(4k-1) \quad \vdots \quad 8$
+Với $n=2k+1$
$(1) \iff 4.(2k+1).[(2k+1)-1][2.(2k+1)-1] \\
=4.(2k+1).2k.(4k+2-1) \\
=8k(2k+1)(4k+1) \quad \vdots \quad 8$


4)
a) Chắc là $a^5+b^5$
Áp dụng bđt cô-si cho $5$ số dương ta có :
$a^5+a^5+a^5+b^5+b^5 \ge 5\sqrt[5]{a^5.a^5.a^5.b^5.b^5} = 5a^3b^2 \; (1)\\
b^5+b^5+b^5+a^5+a^5 \ge 5\sqrt[5]{b^5.b^5.b^5.a^5.a^5} = 5a^2b^3 \; (2)\\
(1)+(2) \iff 5a^5+5b^5 \ge 5a^3b^2+5a^2b^3 = 5a^2b^2(a+b) \\
\iff a^5+b^5 \ge a^2b^2(a+b)$

b) Áp dụng bđt cô-si cho $2$ số dương ta có :
$a+b \ge 2\sqrt{ab} \; (1) \\
\dfrac1a + \dfrac1b \ge 2\sqrt{\dfrac1a.\dfrac1b} \; (2) \\
(1)\times(2) \iff (a+b)(\dfrac1a + \dfrac1b) \ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\dfrac1a.\dfrac1b} = 4\sqrt{ab.\dfrac1a.\dfrac1b} = 4\sqrt{\dfrac{a}a.\dfrac{b}b} = 4\sqrt{1} = 4$

 

[kimtaehyungbts]

Cảm ơn về bài viết

Nhưng bài 4 có thể làm bằng cách áp dụng vào hằng đẳng thức không? Cảm ơn nhưng có thể làm áp dụng vào hằng đẳng thức giúp mình được không? Cảm ơn nhiều