giúp em bài này với

[buithihuongpc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a+b+c=3 chứng minh rằng:

$\dfrac{1}{a^2+b+c}+\dfrac{1}{b^2+a+c}+\dfrac{1}{c^2+a+b}$\leq 1

 

[quanghao98]

Đây là một bài BDT sử dụng kĩ thuật hệ số bất định khá hay và ngắn gọn nhưng phải tính toán và tìm kiếm hệ số phụ phức tạp trước đó.Bạn chỉ cần chứng minh BDT sau:
$\dfrac{1}{a^2-a+3}$\leq $\dfrac{4}{9}-\dfrac{a}{9}$
\Leftrightarrow $\dfrac{(a-1)^2(3-a)}{3(a^2-a+3)}$\geq $0$
BDT này hiển nhiên đúng vì vậy BDT phụ ban đầu được chứng minh:thiết lập các BDT tương tự với b và c cộng lại ta được:
$\sum \dfrac{1}{a^2-a+3}$\leq$\sum \dfrac{4-a}{9}=\dfrac{12-3}{9}=1$ DPCM
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

 

[congchuaanhsang]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

$(a^2+b+c)(1+b+c)$\geq$(a+b+c)^2$ \Leftrightarrow $\dfrac{1}{a^2+b+c}$ \leq $\dfrac{1+b+c}{(a+b+c)^2}$

Tương tự : $\dfrac{1}{b^2+c+a}$\leq$\dfrac{1+c+a}{(a+b+c)^2}$

$\dfrac{1}{c^2+a+b}$\leq$\dfrac{1+a+b}{(a+b+c)^2}$

Nên VT\leq$\dfrac{3+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2}=1$