giúp em bài này với

Q

quanghao98

Đây là một bài BDT sử dụng kĩ thuật hệ số bất định khá hay và ngắn gọn nhưng phải tính toán và tìm kiếm hệ số phụ phức tạp trước đó.Bạn chỉ cần chứng minh BDT sau:
$\dfrac{1}{a^2-a+3}$\leq $\dfrac{4}{9}-\dfrac{a}{9}$
\Leftrightarrow $\dfrac{(a-1)^2(3-a)}{3(a^2-a+3)}$\geq $0$
BDT này hiển nhiên đúng vì vậy BDT phụ ban đầu được chứng minh:thiết lập các BDT tương tự với b và c cộng lại ta được:
$\sum \dfrac{1}{a^2-a+3}$\leq$\sum \dfrac{4-a}{9}=\dfrac{12-3}{9}=1$ DPCM
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
 
C

congchuaanhsang

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:

$(a^2+b+c)(1+b+c)$\geq$(a+b+c)^2$ \Leftrightarrow $\dfrac{1}{a^2+b+c}$ \leq $\dfrac{1+b+c}{(a+b+c)^2}$

Tương tự : $\dfrac{1}{b^2+c+a}$\leq$\dfrac{1+c+a}{(a+b+c)^2}$

$\dfrac{1}{c^2+a+b}$\leq$\dfrac{1+a+b}{(a+b+c)^2}$

Nên VT\leq$\dfrac{3+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2}=1$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom