Giúp em bài min

D

duynhan1

vovavovan said:
HVQY 2001 Tìm GTNN của:
[TEX]f(x,y)=\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}-2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+\frac{x}{y}+ \frac{y}{x} [/TEX] với x,y khác 0
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đặt [TEX]a = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} [/TEX]

[TEX]a^2- 2 = \frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} [/TEX]

[TEX]a^4 - 4a^2 + 2 = \frac{x^4}{y^4} + \frac{y^4}{x^4}[/TEX]

[TEX]f(x,y) = a^4 - 6a^2 + 6 + a[/TEX]
 
J

jet_nguyen

ko biết đúng ko:
[TEX]f(x,y)=\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}-2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+\frac{x}{y}+ \frac{y}{x} [/TEX]

=[TEX]{(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})}^{2}-2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+\frac{x}{y}+ \frac{y}{x}-2 [/TEX]

=[TEX]{(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})}(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-2)+\frac{x}{y}+ \frac{y}{x}-2 [/TEX]

=[TEX]{(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})}{(\frac{x}{y}-\frac{y}{x})}^{2}+{(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}})}^{2} [/TEX]

dễ thấy f{x,y}\geq0\forallx,khác 0 \Rightarrowmin=0
 
Last edited by a moderator:
V

vovavovan

Mình nghĩ jet nguyen làm không ổn vì x,y tự do mà, hướng của duynhan1 đúng hướng mà bọn mình đang học đó ! Các bạn giúp nốt với !
 
S

son_9f_ltv

ta chia làm 2 TH
THx,y cùng dấu
ta có
PT \Leftrightarrow[TEX](\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})^2-2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+1-3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}[/TEX]

[TEX]=[(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})-1]^2-3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}[/TEX]

[TEX]\ge (2-1)^2-3+2=0[/TEX]
dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y

TH 2
x,y trái dấu
vs x,y trái dấu ta dễ CM đc[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le -2[/TEX]

phân tích như trên ta sẽ đi đến ko có min!
 
D

dothetung

Hướng đi của bạn duynhan1 là đúng rồi, nhưng bạn chưa đặt điều kiện cho a [TEX](\left|a \right| \geq 2)[/TEX]
đến đây xét hàm số [TEX]f(a) = a^4 - 6a^2 + a + 6[/TEX] với [TEX](\left|a \right| \geq 2)[/TEX]
[TEX]f'(a) = 4a^3 - 12a +1[/TEX]; [TEX]f''(a) = 12(a^2 -1) > 0[/TEX] mọi [TEX]a \epsilon D[/TEX]
=> [TEX]f'(t)[/TEX] đồng biến mọi [TEX]a \epsilon D[/TEX]
Với [TEX]a \epsilon (-\infty;-2][/TEX] => [TEX]f'(a)[/TEX] chạy trong [TEX](-\infty;-7)[/TEX] => [TEX]f'(a) < 0[/TEX] => f(a) nghịch biến với mọi [TEX]a \epsilon (-\infty;-2][/TEX] => [TEX]f(a) min[/TEX] = [TEX]f(-2) = -4.[/TEX]
CM tg tự trên khoảng còn lại => max f(a) không xác định
;)
 
T

tiger3323551

hướng đi của các bạn cồng kềnh quá
đặt [tex]t=|y/x|+|x/y|[/tex] theo cô si [tex]t \ge 2[/tex]
tới đây là quá ổn
 
Last edited by a moderator:
T

tiger3323551

bạn có ghi nhầm đề không đấy phải là [tex]a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom