giúp e bài này với!

[thanhcute_2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh [TEX]11^{n+1}+12^{2n-1}[/TEX] chia hết 133 với n là số nguyên dương .

 

[lovelycat_handoi95]

Dùng quy nạp

+ với n=1 ta có

[TEX]11^2+12 = 133 [/TEX]chia hết 133

Vậy n=1 thì [TEX]11^{n+1}+12^{2n-1} [/TEX]chia hết cho 133

+ giả sử với [TEX]n=k (k \geq 1 ; k\in N*) [/TEX]thì [TEX]11^{n+1}+12^{2n-1} [/TEX]chia hết cho 133

Khi đó [TEX]11^{k+1}+12^{2k-1} [/TEX]chia hết cho 133

+Ta cần chứng minh với n= k+1 thì [TEX]11^{n+1}+12^{2n-1} [/TEX]chia hết cho 133

Ta có

[TEX]11^{(k+1)+1}+12^{2(k+1)-1}= 11^{k+2}+12^{2k+1} \\ = 11^{k+1}.11+12^{2k-1}.12^{2} \\ = 11(11^{k+1}+12^{2k-1}) + 133 .12^{2k-1}[/TEX]

[TEX]11(11^{k+1}+12^{2k-1})[/TEX] chia hết cho 133 vì[TEX] 11^{k+1}+12^{2k-1} [/TEX]chia hết cho 133

=> [TEX]11^{(k+1)+1}+12^{2(k+1)-1}[/TEX] chia hết cho 133

với n=k+1 thì [TEX]11^{n+1}+12^{2n-1} [/TEX]chia hết cho 133

Vậy [TEX]11^{n+1}+12^{2n-1} [/TEX]chia hết cho 133 với mọi số nguyên dương n

 

[minhtuyb]

[TEX]11^{n+1}+12^{2n-1}\vdots 133(1)[/TEX]

Phương pháp quy nạp toán học:
-Với [TEX]n=1[/TEX] thì (1) đúng
-Giả sử (1) đúng với [TEX]n=k(k\in N*)[/TEX], tức là ta có:
[TEX]11^{k+1}+12^{2k-1}\vdots 133[/TEX]
-Bây giờ cần c/m (1) đúng với [TEX]n=k+1[/TEX], tức là phải c/m:
[TEX]11^{k+2}+12^{2k+1}\vdots 133[/TEX]
Thật vậy, ta có:
[TEX]11^{k+2}+12^{2k+1}=11.11^{k+1}+144.12^{2k-1)=11.11^{k+1}+11.12^{2k-1}+133.12^{2k-1}=11.(11^{k+1}+12^{2k-1})+133.12^{2k-1}[/TEX]
Có: [TEX]11.(11^{k+1}+12^{2k-1})\vdots 133[/TEX] theo gt quy nạp và [TEX]133.12^{2k-1}\vdots 133\Rightarrow 11.(11^{k+1}+12^{2k-1})+133.12^{2k-1}\vdots 133[/TEX]
-Vậy (1) đúng với [TEX]n=k+1[/TEX]. Theo gt quy nạp thì (1) đúng với [TEX]\forall n\in N*<DPCM>[/TEX]