Girl Toán

[241095]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR \foralla,b,c thuộc R
[TEX](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)[/TEX]

 

[241095]

CM BĐT \forall a,b,c,d >0
1 < [TEX] \frac{a}{a +b +c}\ + \frac{b}{b +c +d}\ + \frac{c}{c + d +a}\ + \frac{d}{d + a +b}\ < 2[/TEX]

 

[251295]

CM BĐT \forall a,b,c,d >0
[TEX ] 1< \frac{a}{a +b +c}\ + \frac{b}{b +c +d}\ + \frac{c}{c + d +a}[/TEX]

- Viết lại:
CM BĐT \forall a,b,c,d >0
[TEX] 1< \frac {a} {a +b +c} + \frac{b}{b +c +d} + \frac {c} {c + d +a}+\frac {d} {d + a +b}<2[/TEX]

 

[241095]

cm bđt \forall a,b,c,d >0
1 < [tex] \frac{a}{a +b +c}\ + \frac{b}{b +c +d}\ + \frac{c}{c + d +a}\ + \frac{d}{d + a +b}\ < 2[/tex]

đề đây nha

 

[thienthanlove20]

Đúng thì nhớ thanks tớ nha ^^

CM BĐT a,b,c,d >0

1 < [TEX] \frac{a}{a +b +c}\ + \frac{b}{b +c +d}\ + \frac{c}{c + d +a}\ + \frac{d}{d + a +b}\ < 2 [/TEX]

C/m: [TEX] \frac{a}{a +b +c}\ + \frac{b}{b +c +d}\ + \frac{c}{c + d +a}\ + \frac{d}{d + a +b}\ > 1[/TEX]................(1)

Ta có: [TEX] \frac{a}{a + b + c} > \frac{a}{a + b+ c + d};.; \frac{b}{b + c + d} > \frac{b}{a + b+ c + d};.;\frac{c}{c + d + a} > \frac{c}{a + b+ c + d};.; \frac{d}{d + a + b} > \frac{d}{a + b+ c + d}[/TEX]

Cộng theo từng vế 4 bất đẳng thức trên, ta đc BĐT phải c/m

C/m [TEX]\frac{a}{a +b +c}\ + \frac{b}{b +c +d}\ + \frac{c}{c + d +a}\ + \frac{d}{d + a +b}\ < 2[/TEX].................(2)

Ta có:
[TEX]\frac{a}{a +b +c}\ + \frac{b}{b +c +d}\ + \frac{c}{c + d +a}\ + \frac{d}{d + a +b}\ = \frac{(a + b + c) - (c + b)}{a + b + c} + \frac{(b + c + d) - (c + d)}{b + c+ d} + \frac{(c + d + a) - (d + a)}{c + d + a} + \frac{d + a + b) -(a + b)}{d + a + b} = 4 - ( \frac{c + b}{a + b + c} + \frac{c + d}{b + c + d)} + \frac{d + a}{c + d + a} + \frac{a + b}{d + a + b}) < 2[/TEX]
( Vì bthức trong ngoặc luôn lớn hơn 2, chứng minh tương tự BĐT (1))

 

[251295]

- Viết lại:
CM BĐT \forall a,b,c,d >0
[TEX] 1< \frac {a} {a +b +c} + \frac{b}{b +c +d} + \frac {c} {c + d +a}+\frac{d}{d +a +b}<2[/TEX]

* Cách 2 nè: (Ngắn gọn cực!!!)

- Ta có:

[TEX]\frac {a}{a +b +c}>\frac {a}{a +b +c+d}[/TEX]

[TEX]\frac{b}{b +c +d}>\frac{b}{a+b +c +d}[/TEX]

[TEX]\frac{c}{c +d +a}>\frac{c}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX]\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{a+b+c+d}[/TEX]

- Cộng từng vế các BĐT trên, ta được:

[TEX]\frac {a}{a +b +c}+\frac{b}{b +c +d}+\frac{c}{c +d +a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1[/TEX]

- Vậy [TEX]1< \frac {a} {a +b +c} + \frac{b}{b +c +d} + \frac {c} {c + d +a}+\frac{d}{d +a +b}(1)[/TEX]

- Tiếp theo, ta áp dụng BĐT sau: [TEX]\frac {x}{y}<1 \Rightarrow \frac {x}{y}<\frac {x+z}{y+z}(x,y,z>0)[/TEX]

- Ta lại có:

[TEX]\frac {a}{a +b +c}<\frac {a+d}{a +b +c+d}[/TEX]

[TEX]\frac{b}{b +c +d}<\frac{b+a}{a+b +c +d}[/TEX]

[TEX]\frac{c}{c +d +a}<\frac{c+b}{a+b+c+d}[/TEX]

[TEX]\frac{d}{d+a+b}<\frac{d+c}{a+b+c+d}[/TEX]

- Cộng từng vế các BĐT trên, ta được:

[TEX]\frac {a} {a +b +c} + \frac{b}{b +c +d} + \frac {c} {c + d +a}+\frac{d}{d +a +b}<\frac{a+d+b+a+c+b+d+c}{a+b +c +d}=\frac{2(a+b+c+d)}{a+b +c +d}=2[/TEX]

- Vậy [TEX]\frac {a} {a +b +c} + \frac{b}{b +c +d} + \frac {c} {c + d +a}+\frac{d}{d +a +b}<2(2)[/TEX]

- Kết hợp [TEX](1)(2) \Rightarrow 1< \frac {a} {a +b +c} + \frac{b}{b +c +d} + \frac {c} {c + d +a}+\frac{d}{d +a +b}<2(dpcm)[/TEX]

 

[241095]

ê sao ko ai lam bai 1 vậy

 

[brandnewworld]

CMR \foralla,b,c thuộc R
[TEX](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)[/TEX]

[TEX]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2 \geq 3a^2bc+3ab^2c+3abc^2[/tex]
\Leftrightarrow [TEX]a^2b^2+b^2+c^2+c^2a^2 \geq a^2bc+ab^2c+abc^2(*)[/TEX]
Mặt khác: [TEX]a^2b^2+b^2c^2 \geq 2\sqrt{a^2b^4c^2}=2ab^2c[/TEX]
[TEX]b^2c^2+c^2a^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^4}=2abc^2[/TEX]
[TEX]c^2a^2+a^2b^2 \geq 2\sqrt{a^4b^2c^2}=2a^2bc[/TEX]
Cộng từng vế của các BĐT sẽ ra 1.

 

[thienthanlove20]

[TEX]a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2 \geq 3a^2bc+3ab^2c+3abc^2[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]a^2b^2[/TEX] + [TEX]b^2+c^2[/TEX]+[TEX]c^2a^2 \geq a^2bc+ab^2c+abc^2(*)[/TEX]

Mặt khác: [TEX]a^2b^2+b^2c^2 \geq 2\sqrt{a^2b^4c^2}=2ab^2c[/TEX]

[TEX]b^2c^2+c^2a^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2c^4}=2abc^2[/TEX]

[TEX]c^2a^2+a^2b^2 \geq 2\sqrt{a^4b^2c^2}=2a^2bc[/TEX]

Cộng từng vế của các BĐT sẽ ra 1.

Sai nì [TEX]b^2+c^2[/TEX], phải là [TEX]b^2c^2 [/TEX] chứ !!!!!!!! %%-%%-

 

[251295]

CMR \foralla,b,c thuộc R
[TEX](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)[/TEX]

- Bài 1 nè:

- Cách 2: Khác bạn Brandnewword.

- Đặt [TEX]ab=x;bc=y;ca=z[/TEX].

- Ta có:

[TEX](ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c)[/TEX]

[TEX]=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2bc^2a+2ca^2b-3a^2bc-3ab^2c-3abc^2[/TEX]

[TEX]=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-a^2bc-ab^2c-abc^2[/TEX]

[TEX]=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2-(ab)(ac)-(ab)(bc)-(ac)(bc)[/TEX]

[TEX]=x^2+y^2+c^2-xy-yz-zx \geq 0(1)[/TEX]

- Vì [TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX]

- Từ (1) đúng nên:

[TEX]\Rightarrow (ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) \geq 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)(dpcm)[/TEX]