[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ổ lớp 11 chúng ta đã được làm quen với lim và cách tìm lim cơ bản. Vậy ở bài này, chúng ta sẽ đào sâu hơn cũng như vận dụng cao hơn để giải các bài toán về giới hạn
*PP1: Dùng định lí kẹp để tìm giới hạn.
Định lí kẹp được phát biểu như sau
cho 3 hàm [tex]f(x),g(x),h(x)[/tex]
thỏa mãn [tex]g(x)\leq f(x) \leq h(x) \forall x[/tex]
và [tex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)= b\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}f(x)=b[/tex]
VD:
tìm [tex]lim \frac{sin(n)}{n}[/tex]
dễ dàng nhận thấy [tex]-1\leq sin(n) \leq 1 \forall n[/tex]
nên ta có [tex]\frac{-1}{n}\leq \frac{sin(n)}{n}\leq \frac{1}{n}[/tex]
mà [tex]lim\frac{-1}{n}=lim\frac{1}{n}=0[/tex] [tex]\Rightarrow lim\frac{sin(n)}{n}=0[/tex]
Đây là phương pháp khá dễ nên hầu như ít ứng dụng trong những bài toán tìm lim phức tạp.
Đây là một số bài tập ứng dụng dành cho bạn đọc tự tìm hiểu
a)
[tex]lim\frac{n!}{n^{n}}[/tex]
b)
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}.sin(\frac{1}{2x})[/tex]
*PP2: dùng Biểu thức liên hợp để tìm giới hạn
(thường chỉ áp dụng để tính lim các dạng vô định như [tex]\frac{0}{0};\frac{\infty }{\infty }[/tex],...
xét một sô ví dụ sau:
tìm [tex]lim(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})[/tex]
ta nhận thấy đây là dạng vô định [tex]\infty -\infty[/tex] nên bằng phương pháp liên hợp ta sẽ làm như sau:
[tex]lim(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=lim(\frac{(n+1)-n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}})= lim\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0[/tex]
( vì bậc tử < bậc mẫu )
VD2:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt[3]{3x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{x^{2}})[/tex]
ta thấy rõ ở đây là dạng vô định [tex]\frac{0}{0}[/tex] khi x tiến đến 0. nhưng liên hợp với cả căn bậc 2 và căn bậc ba một lúc thì sẽ rất khó khăn. vì vậy, ta cần tách chúng ra nhằm liên hợp dễ hơn. Cụ thể là:[tex]I=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt[3]{3x^{2}+1}-1}{x^{2}})-\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x^{2}})=lim(\frac{3x^{2}}{x^{2}.(\sqrt[3]{(3x^{2}+1)^{2}}+\sqrt[3]{3x^{2}+1}+1)})-\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{x^{2}(1+\sqrt{x+1})})=1[/tex]
Phương pháp này là một phương pháp có tính ứng dụng khá cao. Sau đây sẽ là một vài bài tập nhỏ:
a)
[tex]lim(sin\sqrt{n+1}-sin\sqrt{n})[/tex]
b)
[tex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2019}-x^{5}}{1-x}[/tex]
*PP3: Dùng công thức L'Hopital
Định lí:
Cho 2 hàm f(x) và g(x) khác 0 thỏa mãn: [tex]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] là dạng vô định khi [tex]x\rightarrow x_{0}[/tex]
Thì [tex]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]
*Thực ra phương pháp liên hợp là một trường hợp nhỏ của phương pháp này.
Ví dụ:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}[/tex]
khi x tiến đến 0 thì đây là dạng vô định 0/0 nên áp dụng công thức L'hopital ta có
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(sinx)'}{x'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx}{1}=1[/tex]
VD2:
I= [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-x}{x^{3}}[/tex]
ở ví dụ này , khi áp dụng công thức ta sẽ được I=[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{3x^{2}}[/tex]
tiếp tục là dạng 0/0 nên ta vẫn có thể áp dụng công thức trên
[tex]I= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx}{6x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-cosx}{6}=\frac{-1}{6}[/tex]
Phải hết sức chú ý là dạng vô định mới được áp dụng công thức trên .
BT:
a)
[tex]\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2^{x}-x^{2}}{x-2}[/tex]
b)
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x+1)-x}{x^{2}}[/tex]
Và đó là một vài dạng toán tính giới hạn cơ bản. Chúc các bạn học tốt !!!
*PP1: Dùng định lí kẹp để tìm giới hạn.
Định lí kẹp được phát biểu như sau
cho 3 hàm [tex]f(x),g(x),h(x)[/tex]
thỏa mãn [tex]g(x)\leq f(x) \leq h(x) \forall x[/tex]
và [tex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)= b\Rightarrow \lim_{x\rightarrow a}f(x)=b[/tex]
VD:
tìm [tex]lim \frac{sin(n)}{n}[/tex]
dễ dàng nhận thấy [tex]-1\leq sin(n) \leq 1 \forall n[/tex]
nên ta có [tex]\frac{-1}{n}\leq \frac{sin(n)}{n}\leq \frac{1}{n}[/tex]
mà [tex]lim\frac{-1}{n}=lim\frac{1}{n}=0[/tex] [tex]\Rightarrow lim\frac{sin(n)}{n}=0[/tex]
Đây là phương pháp khá dễ nên hầu như ít ứng dụng trong những bài toán tìm lim phức tạp.
Đây là một số bài tập ứng dụng dành cho bạn đọc tự tìm hiểu
a)
[tex]lim\frac{n!}{n^{n}}[/tex]
b)
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}.sin(\frac{1}{2x})[/tex]
*PP2: dùng Biểu thức liên hợp để tìm giới hạn
(thường chỉ áp dụng để tính lim các dạng vô định như [tex]\frac{0}{0};\frac{\infty }{\infty }[/tex],...
xét một sô ví dụ sau:
tìm [tex]lim(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})[/tex]
ta nhận thấy đây là dạng vô định [tex]\infty -\infty[/tex] nên bằng phương pháp liên hợp ta sẽ làm như sau:
[tex]lim(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=lim(\frac{(n+1)-n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}})= lim\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0[/tex]
( vì bậc tử < bậc mẫu )
VD2:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt[3]{3x^{2}+1}-\sqrt{x+1}}{x^{2}})[/tex]
ta thấy rõ ở đây là dạng vô định [tex]\frac{0}{0}[/tex] khi x tiến đến 0. nhưng liên hợp với cả căn bậc 2 và căn bậc ba một lúc thì sẽ rất khó khăn. vì vậy, ta cần tách chúng ra nhằm liên hợp dễ hơn. Cụ thể là:[tex]I=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt[3]{3x^{2}+1}-1}{x^{2}})-\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x^{2}})=lim(\frac{3x^{2}}{x^{2}.(\sqrt[3]{(3x^{2}+1)^{2}}+\sqrt[3]{3x^{2}+1}+1)})-\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x}{x^{2}(1+\sqrt{x+1})})=1[/tex]
Phương pháp này là một phương pháp có tính ứng dụng khá cao. Sau đây sẽ là một vài bài tập nhỏ:
a)
[tex]lim(sin\sqrt{n+1}-sin\sqrt{n})[/tex]
b)
[tex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2019}-x^{5}}{1-x}[/tex]
*PP3: Dùng công thức L'Hopital
Định lí:
Cho 2 hàm f(x) và g(x) khác 0 thỏa mãn: [tex]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] là dạng vô định khi [tex]x\rightarrow x_{0}[/tex]
Thì [tex]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]
*Thực ra phương pháp liên hợp là một trường hợp nhỏ của phương pháp này.
Ví dụ:
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}[/tex]
khi x tiến đến 0 thì đây là dạng vô định 0/0 nên áp dụng công thức L'hopital ta có
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(sinx)'}{x'}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx}{1}=1[/tex]
VD2:
I= [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-x}{x^{3}}[/tex]
ở ví dụ này , khi áp dụng công thức ta sẽ được I=[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cosx-1}{3x^{2}}[/tex]
tiếp tục là dạng 0/0 nên ta vẫn có thể áp dụng công thức trên
[tex]I= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-sinx}{6x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-cosx}{6}=\frac{-1}{6}[/tex]
Phải hết sức chú ý là dạng vô định mới được áp dụng công thức trên .
BT:
a)
[tex]\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2^{x}-x^{2}}{x-2}[/tex]
b)
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x+1)-x}{x^{2}}[/tex]
Và đó là một vài dạng toán tính giới hạn cơ bản. Chúc các bạn học tốt !!!
