Toán 11 Giới hạn

[Minh Thư_lovely princess]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho biết lim (x--> 1/2) [tex]\frac{\sqrt{1+ax^{2}}-bx-2}{4x^{3}-3x+1}=c[/tex], với a,b,c [tex]\in \mathbb{R}[/tex]. Tập nghiệm của pt [tex]ax^{4}+bx^{2}+c=0[/tex] trên R có số phần tử là?
2/ Cho biết lim (x--> [tex]-\infty[/tex]) [tex](\sqrt{9x^{2}+ax}+\sqrt[3]{27x^{3}+bx^{2}+5} )= \frac{7}{27}[/tex]. Khi đó a+ 2b bằng bao nhiêu, với a,b là các số nguyên dương và a+2b<40

Giúp mình giải chi tiết với nha, cảm ơn các bạn

 

[Kaito Kidㅤ]

1.
[tex]\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1+ax^{2}}-bx-2}{4x^{3}-3x+1}=c\\\Leftrightarrow \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1+ax^{2}}-bx-2}{(2x-1)^2(x+1)}=c[/tex]
Nên $\sqrt{1+ax^{2}}-bx-2=0$ có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{1+ax^{2}}-bx-2=0\\\Leftrightarrow (a-b^2)x^2-4bx-3=0 (1)[/tex]
Để (1) có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$ thì: (chắc chắn có a khác b^2)
[tex]\left\{\begin{matrix} & \Delta '=0 & \\ & f(\frac{1}{2})=0 & \end{matrix}\right.[/tex]
Giải hệ trên được a=b=-3
[tex]\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1-3x^{2}}+3x-2}{4x^{3}-3x+1}=c=\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1-3x^2-9x^2+12x-4}{\sqrt{1-3x^{2}}-3x+2}}{(2x-1)^2(x+1)}=\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-3}{(x+1)(\sqrt{1-3x^{2}}-3x+2)}=-2[/tex]
PT: [tex]-3x^4-3x^2-2=0[/tex]
Vô nghiệm
2.
[tex]\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{9x^{2}+ax}+\sqrt[3]{27x^{3}+bx^{2}+5} )\\=\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{9x^{2}+ax}+3x+\sqrt[3]{27x^{3}+bx^{2}+5}-3x)\\=\lim_{x \to -\infty} (\frac{ax}{\sqrt{9x^{2}+ax}-3x}+\frac{bx^2+5}{\sqrt[3]{(27x^{3}+bx^{2}+5)^2}+3x.\sqrt[3]{27x^{3}+bx^{2}+5}+9x^2})\\=-\frac{a}{6}+\frac{b}{27}\\\Rightarrow -\frac{a}{6}+\frac{b}{27}=\frac{7}{27}\\\Rightarrow a=\frac{2}{9}(b-7)[/tex]
Do a;b nguyên dương nên [tex](b-7)\vdots 9[/tex]
Với b=7 thì a=0 (loại)
Với b=16 thì a=2 Nên a+2b=34
Với [tex]b\geq 25[/tex] mà [tex](b-7)\vdots 9[/tex] thì [tex]a+2b>40[/tex] Nên loại
Vậy a+2b=34

 

[Minh Thư_lovely princess]

1.
[tex]\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1+ax^{2}}-bx-2}{4x^{3}-3x+1}=c\\\Leftrightarrow \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1+ax^{2}}-bx-2}{(2x-1)^2(x+1)}=c[/tex]
Nên $\sqrt{1+ax^{2}}-bx-2=0$ có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{1+ax^{2}}-bx-2=0\\\Leftrightarrow (a-b^2)x^2-4bx-3=0 (1)[/tex]
Để (1) có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$ thì: (chắc chắn có a khác b^2)
[tex]\left\{\begin{matrix} & \Delta '=0 & \\ & f(\frac{1}{2})=0 & \end{matrix}\right.[/tex]
Giải hệ trên được a=b=-3
[tex]\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1-3x^{2}}+3x-2}{4x^{3}-3x+1}=c=\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{1-3x^2-9x^2+12x-4}{\sqrt{1-3x^{2}}-3x+2}}{(2x-1)^2(x+1)}=\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{-3}{(x+1)(\sqrt{1-3x^{2}}-3x+2)}=-2[/tex]
PT: [tex]-3x^4-3x^2-2=0[/tex]
Vô nghiệm
2.
[tex]\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{9x^{2}+ax}+\sqrt[3]{27x^{3}+bx^{2}+5} )\\=\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{9x^{2}+ax}+3x+\sqrt[3]{27x^{3}+bx^{2}+5}-3x)\\=\lim_{x \to -\infty} (\frac{ax}{\sqrt{9x^{2}+ax}-3x}+\frac{bx^2+5}{\sqrt[3]{(27x^{3}+bx^{2}+5)^2}+3x.\sqrt[3]{27x^{3}+bx^{2}+5}+9x^2})\\=-\frac{a}{6}+\frac{b}{27}\\\Rightarrow -\frac{a}{6}+\frac{b}{27}=\frac{7}{27}\\\Rightarrow a=\frac{2}{9}(b-7)[/tex]
Do a;b nguyên dương nên [tex](b-7)\vdots 9[/tex]
Với b=7 thì a=0 (loại)
Với b=16 thì a=2 Nên a+2b=34
Với [tex]b\geq 25[/tex] mà [tex](b-7)\vdots 9[/tex] thì [tex]a+2b>40[/tex] Nên loại
Vậy a+2b=34

Bạn có thể giải thích rõ giúp mình bài 2 từ dòng 3 qua dòng 4 được không?

 

[System32]

Bạn có thể giải thích rõ giúp mình bài 2 từ dòng 3 qua dòng 4 được không?

$$\lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{ax}{\sqrt{9x^{2} + ax} - 3x} + \dfrac{bx^2 + 5}{\sqrt[3]{(27x^{3} + bx^{2} + 5)^2} + 3x \cdot \sqrt[3]{27x^{3} + bx^{2} + 5} + 9x^2}\right)$$
$$= \lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{ax}{|x| \cdot \sqrt{9 + \dfrac{a}{x}} - 3x} + \dfrac{bx^2 + 5}{x^2 \cdot \sqrt[3]{\left(27 + \dfrac{b}{x} + \dfrac{5}{x^3}\right)^2} + 3x \cdot x \cdot \sqrt[3]{27 + \dfrac{b}{x} + \dfrac{5}{x^3}} + 9x^2}\right)$$
$$= \lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{a}{-\sqrt{9 + \dfrac{a}{x}} - 3} + \dfrac{b + \dfrac{5}{x^2}}{ \sqrt[3]{\left(27 + \dfrac{b}{x} + \dfrac{5}{x^3}\right)^2} + 3 \sqrt[3]{27 + \dfrac{b}{x} + \dfrac{5}{x^3}} + 9}\right)$$
$$= \dfrac{a}{-\sqrt{9} - 3} + \dfrac{b}{\sqrt[3]{27^2} + \sqrt[3]{27} + 9}$$
$$= -\dfrac{a}{6} + \dfrac{b}{27}$$