- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Giới hạn của hàm số, bản chất cũng là tính giá trị của hàm [TEX]f(x)[/TEX], khi x tiến tới gần giá trị [TEX]x_o[/TEX] nào đó, tương tự như giới hạn của dãy số.
Từ đó, nó kế thừa tất cả các công thức và tính chất đã có của giới hạn dãy số.
Ta có các dạng bài giới hạn của hàm số sau:
1. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm.
Để tính giới hạn [tex]\underset{x->x_o)}{limf(x)}[/tex] , thì trước tiên, cho khoảng K chứa [TEX]x_o[/TEX], f(x) phải xác định trên K, hoặc K\ {[TEX]{x_o}[/TEX]}. Tuy nhiên, với các bài toán tính giới hạn, thì cái này đương nhiên đúng, nếu không, đề sẽ bị sai.
Khi đó, nếu thay [TEX]x=x_o[/TEX] vào f(x), giá trị hàm số tính được, không phải các dạng vô định: [tex]\frac{0}{0},...[/tex] , thì giá trị [tex]\underset{x->x_o}{limf(x)}[/tex]=[TEX]f(x_o)[/TEX]. Còn nếu gặp phải vô định, thì cần biến đổi để khử bỏ vô định.
*Ví dụ:
a. [tex]\underset{x->1}{lim(x^2+2x)}[/tex]
Ở đây, khi thay x=1 thì ta thấy giá trị hàm tính được, do đó [tex]\underset{x->1}{lim(x^2+2x)}=1^2+2.1=3[/tex]
b. [tex]\underset{x->1}{lim\frac{\sqrt{x+3}-1}{\sqrt{2x-1}}}=\frac{\sqrt{1+3}-1}{\sqrt{2.1-1}}=1[/tex]
Câu này tương tự câu a, thay giá trị vào giá trị của hàm không phải vô định, nên ta tính được luôn.
c. [tex]\underset{x->2}{lim\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{2x+5}-3}}[/tex]
Ở bài này, ta nhận thấy, nếu thay x=2 thì cả tử và mẫu bằng 0, do đó đây là dạng vô định, ta cần khử bỏ vô định bằng phương pháp liên hợp:
[tex]\underset{x->2}{lim\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{2x+5}-3}}=\underset{x->2}{lim\frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(\sqrt{2x+5}-3)(\sqrt{2x+5}+3)(\sqrt{x+2}+2)}}=\underset{x->2}{lim\frac{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(2x-2)(\sqrt{x+2}+2)}}= \underset{x->2}{lim\frac{\sqrt{2x+5}+3}{2(\sqrt{x+2}+2)}}[/tex]
Đến đây không còn dạng vô định, ta thay x=2 vào và tính được giá trị
[tex]\underset{x->2}{lim\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{2x+5}-3}}=3/4[/tex]
* Đối với các dạng vô định, thường là rơi vào 2 trường hợp sau:
1. Phân tích đa thức cả tử và mẫu thành nhân tử, rồi triệt tiêu.
2. Sử dung liên hợp để xuất hiện nhân tử chung, sau đó triệt tiêu. Các lượng liên hợp cần chú ý:
[tex](y\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x-y[/tex]
[tex](\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})=x-y[/tex]
[tex](\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})=x+y[/tex]
[tex](\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y})(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{x^{n-2}y}+...\sqrt[n]{y^{n-1}})=x-y[/tex]
2. Giới hạn hàm số tại một phía.
Giới hạn hàm số tại một phía, bao gồm giới hạn trái [TEX]x->x_o^-[/TEX], tức là x tiến gần đến [TEX]x_o[/TEX] từ bên trái trên trục số. Nói cách khác, giá trị của x rất gần [TEX]x_o[/TEX], nhưng nhỏ hơn [TEX]x_o[/TEX]. Ví dụ: [TEX]x->1^-[/TEX] thì tức là giá trị x=0,99999....
Và giới hạn phải: [TEX]x->x_o^+[/TEX], là x rất gần [TEX]x_o[/TEX], nhưng lớn hơn [TEX]x_o[/TEX].
Ví dụ: [TEX]x->1^+[/TEX] tức là giá trị x=1,0000.....1
Giới hạn tại 1 phía tính cũng tương tự như giới hạn tại 1 điểm, có một giới hạn cần lưu ý: với só thực a>0,
[tex]\underset{x->0^+}{lim\frac{a}{x}}=+oo;\underset{x->0^-}{lim\frac{a}{x}}=-oo[/tex]
Ví dụ: [tex]\underset{x->3+}{lim\frac{\sqrt{x+6}}{x-3}}[/tex]
Ở trên tử, thay x=3 vào được tử bằng 6, còn mẫu thì bằng 0, vậy giới hạn bằng oo. Hơn nữa, do x->[TEX]3^+[/TEX] nên [TEX]x-3>0[/TEX], do đó dấu của mẫu là +, vậy giới hạn bằng +oo.
3. Giới hạn hàm số tại vô cực.
Là giới hạn của hàm f(x), khi [TEX]x->oo[/TEX], phần này thì tương tự như tính giới hạn của dãy số đã trình bày.
Từ đó, nó kế thừa tất cả các công thức và tính chất đã có của giới hạn dãy số.
Ta có các dạng bài giới hạn của hàm số sau:
1. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm.
Để tính giới hạn [tex]\underset{x->x_o)}{limf(x)}[/tex] , thì trước tiên, cho khoảng K chứa [TEX]x_o[/TEX], f(x) phải xác định trên K, hoặc K\ {[TEX]{x_o}[/TEX]}. Tuy nhiên, với các bài toán tính giới hạn, thì cái này đương nhiên đúng, nếu không, đề sẽ bị sai.
Khi đó, nếu thay [TEX]x=x_o[/TEX] vào f(x), giá trị hàm số tính được, không phải các dạng vô định: [tex]\frac{0}{0},...[/tex] , thì giá trị [tex]\underset{x->x_o}{limf(x)}[/tex]=[TEX]f(x_o)[/TEX]. Còn nếu gặp phải vô định, thì cần biến đổi để khử bỏ vô định.
*Ví dụ:
a. [tex]\underset{x->1}{lim(x^2+2x)}[/tex]
Ở đây, khi thay x=1 thì ta thấy giá trị hàm tính được, do đó [tex]\underset{x->1}{lim(x^2+2x)}=1^2+2.1=3[/tex]
b. [tex]\underset{x->1}{lim\frac{\sqrt{x+3}-1}{\sqrt{2x-1}}}=\frac{\sqrt{1+3}-1}{\sqrt{2.1-1}}=1[/tex]
Câu này tương tự câu a, thay giá trị vào giá trị của hàm không phải vô định, nên ta tính được luôn.
c. [tex]\underset{x->2}{lim\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{2x+5}-3}}[/tex]
Ở bài này, ta nhận thấy, nếu thay x=2 thì cả tử và mẫu bằng 0, do đó đây là dạng vô định, ta cần khử bỏ vô định bằng phương pháp liên hợp:
[tex]\underset{x->2}{lim\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{2x+5}-3}}=\underset{x->2}{lim\frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(\sqrt{2x+5}-3)(\sqrt{2x+5}+3)(\sqrt{x+2}+2)}}=\underset{x->2}{lim\frac{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}{(2x-2)(\sqrt{x+2}+2)}}= \underset{x->2}{lim\frac{\sqrt{2x+5}+3}{2(\sqrt{x+2}+2)}}[/tex]
Đến đây không còn dạng vô định, ta thay x=2 vào và tính được giá trị
[tex]\underset{x->2}{lim\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{2x+5}-3}}=3/4[/tex]
* Đối với các dạng vô định, thường là rơi vào 2 trường hợp sau:
1. Phân tích đa thức cả tử và mẫu thành nhân tử, rồi triệt tiêu.
2. Sử dung liên hợp để xuất hiện nhân tử chung, sau đó triệt tiêu. Các lượng liên hợp cần chú ý:
[tex](y\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})=x-y[/tex]
[tex](\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})=x-y[/tex]
[tex](\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y})(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2})=x+y[/tex]
[tex](\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y})(\sqrt[n]{x^{n-1}}+\sqrt[n]{x^{n-2}y}+...\sqrt[n]{y^{n-1}})=x-y[/tex]
2. Giới hạn hàm số tại một phía.
Giới hạn hàm số tại một phía, bao gồm giới hạn trái [TEX]x->x_o^-[/TEX], tức là x tiến gần đến [TEX]x_o[/TEX] từ bên trái trên trục số. Nói cách khác, giá trị của x rất gần [TEX]x_o[/TEX], nhưng nhỏ hơn [TEX]x_o[/TEX]. Ví dụ: [TEX]x->1^-[/TEX] thì tức là giá trị x=0,99999....
Và giới hạn phải: [TEX]x->x_o^+[/TEX], là x rất gần [TEX]x_o[/TEX], nhưng lớn hơn [TEX]x_o[/TEX].
Ví dụ: [TEX]x->1^+[/TEX] tức là giá trị x=1,0000.....1
Giới hạn tại 1 phía tính cũng tương tự như giới hạn tại 1 điểm, có một giới hạn cần lưu ý: với só thực a>0,
[tex]\underset{x->0^+}{lim\frac{a}{x}}=+oo;\underset{x->0^-}{lim\frac{a}{x}}=-oo[/tex]
Ví dụ: [tex]\underset{x->3+}{lim\frac{\sqrt{x+6}}{x-3}}[/tex]
Ở trên tử, thay x=3 vào được tử bằng 6, còn mẫu thì bằng 0, vậy giới hạn bằng oo. Hơn nữa, do x->[TEX]3^+[/TEX] nên [TEX]x-3>0[/TEX], do đó dấu của mẫu là +, vậy giới hạn bằng +oo.
3. Giới hạn hàm số tại vô cực.
Là giới hạn của hàm f(x), khi [TEX]x->oo[/TEX], phần này thì tương tự như tính giới hạn của dãy số đã trình bày.