- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
*Giới hạn của dãy số, thực chất là tính cái gì?
Bỏ qua những thứ dài dòng trong SGK, thì tính giới hạn của dãy [TEX]U_n[/TEX], thực chất là tính xem giá trị của số hạng [TEX]U_n[/TEX] này đang tiếng gần tới giá trị nào, khi [TEX]n->+oo[/TEX]
Và do đó, bài tính giới hạn thực chất chỉ là xem bạn có cộng trừ nhân chia tốt hay không, vậy là hết. Đương nhiên, đó là với các bài tập cơ bản. Với các bài tập nâng cao thì vẫn cần kĩ thuật biến đổi rồi mới làm được.
Trong bài toán giới hạn, khi chỉ ghi lim thì mặc nhiên ngầm hiểu [TEX]n->++oo[/TEX] hoặc [TEX]x->+oo[/TEX](x là với bài toán giới hạn hàm số )
*Từ đó, ta rút ra 1 số giới hạn đặc biệt :
[tex]lim\frac{a}{n}=0[/tex]
Khi để a thì ta hiểu đó là số thực a hữu hạn. Rất đơn giản, số chia hữu hạn mà chia cho số bị chia lớn vô cùng, thì giá trị nhỏ gần như bằng 0. Do đó lim bằng 0.
[tex]limq^n=0(|q|<1), limq^n=oo(|q|>1)[/tex]
cơ số nhỏ hơn 1 thì lũy thừa càng to, nó càng nhỏ. Cơ số lớn hơn 1 thì lũy thừa càng lớn, nó càng lớn. Đây là quy tắc cơ bản của phép lũy thừa.
[tex]limc=c[/tex] ( c là hằng số).
*Một số công thức về giới hạn:
Do bản chất là tính giá trị, nên đương nhiên lim có tính chất của phép cộng trừ nhân chia:
[TEX]lim(u_n+v_n)=limu_n+limv_n[/TEX]
[TEX]lim(u_n-v_n)=limu_n-limv_n[/TEX]
[TEX]lim(u_n.v_n)=limu_n.limv_n[/TEX]
[tex]lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{limu_n}{limv_n}[/tex] ([TEX]limv_n \neq 0[/TEX], trong trường hợp [TEX]limv_n = 0[/TEX] thì phải giữ nguyên chứ không được tách ra để tính như vậy)
* Tổng của CSN lùi vô hạn:
1 CSN gọi là lùi vô hạn khi công bội [TEX]|q|<1[/TEX].
Khi đó theo công thức tổng CSN ta có: [tex]S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}[/tex]
Do |q|<1 nên [tex]lim(1-q^n)=lim1-limq^n=1-0=1[/tex]
=>[tex]S_n=\frac{u_1}{1-q}[/tex]
Bài tập: Tính các giới hạn:
[tex]1. lim\frac{n^3+n^2+2}{n^2+n}[/tex]
Giải: đối với các giới hạn dãy số dạng không phải vô định ( dạng vô định là các dạng: [tex]oo-oo,oo.0, \frac{0}{0}[/tex], thì ta chỉ giữ lại số hạng có bậc cao nhất để tính, ở tử và mẫu. Vì các số hạng bậc thấp hơn có giá trị không đáng kể, nên bỏ qua
Vậy ta có: [tex]lim\frac{n^3+n^2+2}{n^2+n}=lim\frac{n^3}{n^2}=limn=+oo[/tex]
Lưu ý, đây là cách tính nhanh cho trắc nghiệm, với bài tự luận ta buộc phải trình bày theo sách yêu cầu:
[tex]lim\frac{n^3+n^2+2}{n^2+n}=lim\frac{n+1+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{limn+1}{1}=+oo[/tex]
2. [tex]lim\frac{3n^2+n}{n^2+n+2}=lim\frac{3n^2}{n^2}=3[/tex]
3. [tex]lim\frac{1-3n}{\sqrt{n^2+n}}=lim\frac{-3n}{\sqrt{n^2}}=lim\frac{-3n}{n}=-3[/tex]
4. [tex]lim\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{4n^2+3n+3}}=lim\frac{n}{\sqrt{n^2}+\sqrt{4n^2}}=lim\frac{n}{3n}=\frac{1}{3}[/tex]
5. [tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)[/tex]
Ở bài này, nếu ta cũng làm như trên thì sẽ có lim(n-n)=0. Như vậy là kết quả sai. Đây là dạng vô định, ta cần liên hợp để khử vô định như sau:
[tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)=lim\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=lim\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}[/tex]
6. [tex]lim\frac{3^n+5^n}{5^n+4^n}[/tex]
Với dạng có các lũy thừa cơ số lớn hơn 1, thì ta chỉ giữ lại cơ số lớn nhất, còn lại bỏ đi:
[tex]lim\frac{3^n+5^n}{5^n+4^n}=lim\frac{5^n}{5^n}=1[/tex]
Bỏ qua những thứ dài dòng trong SGK, thì tính giới hạn của dãy [TEX]U_n[/TEX], thực chất là tính xem giá trị của số hạng [TEX]U_n[/TEX] này đang tiếng gần tới giá trị nào, khi [TEX]n->+oo[/TEX]
Và do đó, bài tính giới hạn thực chất chỉ là xem bạn có cộng trừ nhân chia tốt hay không, vậy là hết. Đương nhiên, đó là với các bài tập cơ bản. Với các bài tập nâng cao thì vẫn cần kĩ thuật biến đổi rồi mới làm được.
Trong bài toán giới hạn, khi chỉ ghi lim thì mặc nhiên ngầm hiểu [TEX]n->++oo[/TEX] hoặc [TEX]x->+oo[/TEX](x là với bài toán giới hạn hàm số )
*Từ đó, ta rút ra 1 số giới hạn đặc biệt :
[tex]lim\frac{a}{n}=0[/tex]
Khi để a thì ta hiểu đó là số thực a hữu hạn. Rất đơn giản, số chia hữu hạn mà chia cho số bị chia lớn vô cùng, thì giá trị nhỏ gần như bằng 0. Do đó lim bằng 0.
[tex]limq^n=0(|q|<1), limq^n=oo(|q|>1)[/tex]
cơ số nhỏ hơn 1 thì lũy thừa càng to, nó càng nhỏ. Cơ số lớn hơn 1 thì lũy thừa càng lớn, nó càng lớn. Đây là quy tắc cơ bản của phép lũy thừa.
[tex]limc=c[/tex] ( c là hằng số).
*Một số công thức về giới hạn:
Do bản chất là tính giá trị, nên đương nhiên lim có tính chất của phép cộng trừ nhân chia:
[TEX]lim(u_n+v_n)=limu_n+limv_n[/TEX]
[TEX]lim(u_n-v_n)=limu_n-limv_n[/TEX]
[TEX]lim(u_n.v_n)=limu_n.limv_n[/TEX]
[tex]lim\frac{u_n}{v_n}=\frac{limu_n}{limv_n}[/tex] ([TEX]limv_n \neq 0[/TEX], trong trường hợp [TEX]limv_n = 0[/TEX] thì phải giữ nguyên chứ không được tách ra để tính như vậy)
* Tổng của CSN lùi vô hạn:
1 CSN gọi là lùi vô hạn khi công bội [TEX]|q|<1[/TEX].
Khi đó theo công thức tổng CSN ta có: [tex]S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}[/tex]
Do |q|<1 nên [tex]lim(1-q^n)=lim1-limq^n=1-0=1[/tex]
=>[tex]S_n=\frac{u_1}{1-q}[/tex]
Bài tập: Tính các giới hạn:
[tex]1. lim\frac{n^3+n^2+2}{n^2+n}[/tex]
Giải: đối với các giới hạn dãy số dạng không phải vô định ( dạng vô định là các dạng: [tex]oo-oo,oo.0, \frac{0}{0}[/tex], thì ta chỉ giữ lại số hạng có bậc cao nhất để tính, ở tử và mẫu. Vì các số hạng bậc thấp hơn có giá trị không đáng kể, nên bỏ qua
Vậy ta có: [tex]lim\frac{n^3+n^2+2}{n^2+n}=lim\frac{n^3}{n^2}=limn=+oo[/tex]
Lưu ý, đây là cách tính nhanh cho trắc nghiệm, với bài tự luận ta buộc phải trình bày theo sách yêu cầu:
[tex]lim\frac{n^3+n^2+2}{n^2+n}=lim\frac{n+1+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{limn+1}{1}=+oo[/tex]
2. [tex]lim\frac{3n^2+n}{n^2+n+2}=lim\frac{3n^2}{n^2}=3[/tex]
3. [tex]lim\frac{1-3n}{\sqrt{n^2+n}}=lim\frac{-3n}{\sqrt{n^2}}=lim\frac{-3n}{n}=-3[/tex]
4. [tex]lim\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{4n^2+3n+3}}=lim\frac{n}{\sqrt{n^2}+\sqrt{4n^2}}=lim\frac{n}{3n}=\frac{1}{3}[/tex]
5. [tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)[/tex]
Ở bài này, nếu ta cũng làm như trên thì sẽ có lim(n-n)=0. Như vậy là kết quả sai. Đây là dạng vô định, ta cần liên hợp để khử vô định như sau:
[tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)=lim\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=lim\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}[/tex]
6. [tex]lim\frac{3^n+5^n}{5^n+4^n}[/tex]
Với dạng có các lũy thừa cơ số lớn hơn 1, thì ta chỉ giữ lại cơ số lớn nhất, còn lại bỏ đi:
[tex]lim\frac{3^n+5^n}{5^n+4^n}=lim\frac{5^n}{5^n}=1[/tex]
