Toán 11 Giới hạn của dãy số

[Annabelle]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}} & n\geq 1 & \end{matrix}\right.[/tex]

 

[Aki-chan]

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}} & n\geq 1 & \end{matrix}\right.[/tex]

bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được
0<[tex]u_{n}[/tex] <2 với mọi n
từ đây ta có [tex]u_{n+1}-u_{n}=\sqrt{2+u_{n}}-u_{n}=\frac{2+u_{n}-u_{n}^{2}}{u_{n}+\sqrt{2+u_{n}}}=\frac{(2-u_{n})(u_{n}+1)}{u_{n}+\sqrt{2+u_{n}}}>0[/tex]
do vậy dẫy un là dẫy tăng và bị chặn trên bởi 2
vậy dãy un có giới hạn.
giả sử [tex]lim(u_{n})=a\Rightarrow lim(u_{n+1})=a[/tex]
Vì lim[tex]u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}\Rightarrow lim(u_{n+1})=lim\sqrt{2+u_{n}}\Rightarrow a=\sqrt{2+a}\Rightarrow a=2[/tex]
vậy lim =2

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
[tex]\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} & & \\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}} & n\geq 1 & \end{matrix}\right.[/tex]