Toán 11 Giới hạn của dãy số

[Annabelle]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp em chút ạ

• [tex]\lim (\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}})[/tex]
• [tex]\lim (\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+\frac{3}{n^{2}+3}+...+\frac{n}{n^{2}+n})[/tex]

 

[Aki-chan]

Mọi người giúp em chút ạ

• [tex]\lim (\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}})[/tex]
• [tex]\lim (\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+\frac{3}{n^{2}+3}+...+\frac{n}{n^{2}+n})[/tex]

[tex]A=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}}[/tex]
suy ra 2A=[tex]2A=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}+\frac{7}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n-1}}[/tex]
trừ từng vế ta có
2A-A=[tex]1+(\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}+\frac{7}{2^{3}}+...)-(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...)[/tex]=[tex]1+(\frac{2}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{2}{2^{3}}+...+\frac{2}{2^{n-1}})-\frac{2n-1}{2^{n}}[/tex].
trong ngoặc là tổng của 1 cấp số nhân nên bạn tính được A=[tex]3-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n}}[/tex]
và không khó để chứng minh LimA=3

2)[tex]A=\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+2}+...+\frac{n}{n^{2}+n}[/tex]
[tex]A>\frac{1}{n^{2}+n}+\frac{2}{n^{2}+n}+\frac{3}{n^{2}+n}+...+\frac{n}{n^{2}+n}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}+n}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^{2}+n}=\frac{1}{2}[/tex]
mặt khác [tex]A<\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+1}+...\frac{n}{n^{2}+1}=\frac{1+2+...+n}{n^{2}+1}=\frac{\frac{n^{2}+n}{2}}{n^{2}+1}=\frac{n^{2}+n}{2(n^{2}+1)}[/tex]
nên [tex]\frac{1}{2}< A< \frac{1}{2}.\frac{n^{2}+n}{n^{2}+1}[/tex]
mà [tex]lim\frac{1}{2}=lim\frac{n^{2}+n}{2(n^{2}+1)}=\frac{1}{2}[/tex]
nên limA=1/2 ( giới hạn bị kẹp)

 

[Annabelle]

Cảm ơn nhiều nha
giúp mình thêm câu này được không
[tex]\lim \frac{1.6+5.6^{3}+9.6^5+...+(4n-3).6^{2n-1}}{6^{2n}}[/tex]

 

[Aki-chan]

Cảm ơn nhiều nha
giúp mình thêm câu này được không
[tex]\lim \frac{1.6+5.6^{3}+9.6^5+...+(4n-3).6^{2n-1}}{6^{2n}}[/tex]

tương tự thôi bạn [tex]A=1.6+5.6^{3}+9.6^{5}+...+(4n-3).6^{2n-1}[/tex]
suy ra [tex]6^{2}.A=1.6^{3}+5.6^{5}+...+(4n-3).6^{2n+1}[/tex]
trừ từng vế có:
[tex]6^{2}.A-A=((4n-3)6^{2n+1}+...+5.6^{5}+1.6^{3})-((4n-3).6^{2n-1}+...+9.6^{5}+5.6^{3}-1.6)=(4n-3).6^{2n+1}-1.6-4(6+6^{3}+6^{5}+...+6^{2n-1})=(4n-3).6^{2n+1}-6-4.\frac{6^{2n+1}-6}{35}[/tex]
đến đây không cần giải ra nữa. bậc tử là mũ 2n+1 , mẫu là mũ 2n
nên bậc của tử > bậc mẫu. lim kia tiến đến + vô cùng

 

[Annabelle]

vậy bạn vui lòng giúp mình thêm vài câu nữa nhé(hứa lần cuối luôn)...)

• [tex]\lim \frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+1}}[/tex]
  
• [tex]\dpi{150} \lim ((1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})...(1-\frac{1}{n}))[/tex]
  
• [tex]\dpi{150} \lim ((1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{3}})...(1-\frac{1}{n^{2}}))[/tex]
  
• [tex]\dpi{150} \lim (\frac{2^{3}-1}{2^{3}+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}...\frac{n^3-1}{n^3+1})[/tex]
  
• [tex]\dpi{150} \lim \frac{1^3+4^3+...(3n-2)^3}{(1+4+...+(3n-2))^2)}[/tex]
  
• Bạn giúp mình nha, không biết lấy gì để cảm ơn bạn đây

 

[Annabelle]

Mình có 1 thắc mắc chút: Dấu bằng mình khoanh đỏ là bạn cộng như thế nào vậy

 

[Aki-chan]

Mình có 1 thắc mắc chút: Dấu bằng mình khoanh đỏ là bạn cộng như thế nào vậyView attachment 99662

trừ từng cái cùng mẫu số cho nhau
vd:
[tex]\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}[/tex]
[tex]\frac{5}{2^{2}}-\frac{3}{2^{2}}=\frac{2}{2^{2}}[/tex] ....

 

[Annabelle]

bạn giúp mình nốt 5 câu bên trên đi, bên câu trả lời kèm ảnh ý

 

[Aki-chan]

bạn giúp mình nốt 5 câu bên trên đi, bên câu trả lời kèm ảnh ý

À, mình nhìn sót
1)
A=[tex]\frac{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n+1}}[/tex]
dễ dàng chứng minh được

[tex]1-\frac{1}{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n+1}} mà [tex]lim\frac{1}{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n+1}}=0[/tex]
nên [tex]lim(1-\frac{1}{1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n+1}})=lim1=1\Rightarrow limA=1[/tex]
2)
[tex](1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})...(1-\frac{1}{n})=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{n-1}{n}=\frac{1}{n}\Rightarrow lim\frac{1}{n}=0[/tex]
3
[tex](1-\frac{1}{k^{2}})=(1-\frac{1}{k})(1+\frac{1}{k})=\frac{k-1}{k}.\frac{k+1}{k}[/tex]
suy ra
[tex](1-\frac{1}{2^{2}})...(1-\frac{1}{n^{2}})=(\frac{1}{2}.\frac{3}{2}).(\frac{2}{3}.\frac{4}{3}).(\frac{3}{4}.\frac{5}{4})...(\frac{n-1}{n}.\frac{n+1}{n})=\frac{n+1}{2n}\Rightarrow lim\frac{n+1}{2n}=0.5[/tex]

tạm thời 3 câu cái đã. lát nữa mình sẽ full. Mong bạn thông cảm [/tex]

 

[Annabelle]

ôi bạn giúp mình là mình đã cảm tạ lắm rồi sao trách bạn đc

 

[iceghost]

4. Xét $\dfrac{k^3-1}{k^3+1} = \dfrac{(k-1)[k(k+1)+1]}{(k+1)[k(k-1)+1]}$
$\dfrac{2^3-1}{2^3+1} = \dfrac{1\cdot(2\cdot 3+1)}{3 \cdot (2 \cdot 1 + 1)}$
$\dfrac{3^3-1}{3^3+1} = \dfrac{2\cdot(3\cdot 4+1)}{4 \cdot (3 \cdot 2 + 1)}$
$\dfrac{4^3-1}{4^3+1} = \dfrac{3\cdot(4\cdot 5+1)}{5 \cdot (4 \cdot 3 + 1)}$
...
$\dfrac{n^3-1}{n^3+1} = \dfrac{(n-1)[n(n+1)+1]}{(n+1)[n(n-1)+1]}$
Nhân lại $\implies \ldots = \dfrac{1 \cdot 2 \cdot [n(n+1)+1]}{n(n+1)(2 \cdot 1 + 1)}$...

 

[Detulynguyen]

[tex]A=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n}}[/tex]
suy ra 2A=[tex]2A=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}+\frac{7}{2^{3}}+...+\frac{2n-1}{2^{n-1}}[/tex]
trừ từng vế ta có
2A-A=[tex]1+(\frac{3}{2}+\frac{5}{2^{2}}+\frac{7}{2^{3}}+...)-(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\frac{5}{2^{3}}+...)[/tex]=[tex]1+(\frac{2}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{2}{2^{3}}+...+\frac{2}{2^{n-1}})-\frac{2n-1}{2^{n}}[/tex].
trong ngoặc là tổng của 1 cấp số nhân nên bạn tính được A=[tex]3-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n}}[/tex]
và không khó để chứng minh LimA=3

tương tự thôi bạn [tex]A=1.6+5.6^{3}+9.6^{5}+...+(4n-3).6^{2n-1}[/tex]
suy ra [tex]6^{2}.A=1.6^{3}+5.6^{5}+...+(4n-3).6^{2n+1}[/tex]
trừ từng vế có:
[tex]6^{2}.A-A=((4n-3)6^{2n+1}+...+5.6^{5}+1.6^{3})-((4n-3).6^{2n-1}+...+9.6^{5}+5.6^{3}-1.6)=(4n-3).6^{2n+1}-1.6-4(6+6^{3}+6^{5}+...+6^{2n-1})=(4n-3).6^{2n+1}-6-4.\frac{6^{2n+1}-6}{35}[/tex]
đến đây không cần giải ra nữa. bậc tử là mũ 2n+1 , mẫu là mũ 2n
nên bậc của tử > bậc mẫu. lim kia tiến đến + vô cùng

ở hai bài này thì làm sao bạn biết được phải nhân 2 và 6^2 vào thế
có cách nào nhận biết không? Và dạng nào thì phải làm cách đó?
Thanks nhiều

 

[Aki-chan]

ở hai bài này thì làm sao bạn biết được phải nhân 2 và 6^2 vào thế
có cách nào nhận biết không? Và dạng nào thì phải làm cách đó?
Thanks nhiều

Cái 1 thì mẫu số cứ tăng lên 2 lần nên để bỏ rút gọn phần giữa thì mình Nhân thêm 1/2
Bài sau thì các số sau cứ tăng lên 6^2 lần. Tương tự để ra 1 phép tính đẹp thôi bạn