giải

[khanhpro561737]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác đều ABC có đường cao AH, m là điểm bất kì trên BC. Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, O là trung điểm của AM. C/m rằng:
A. Các điểm A, P, M ,H ,O cùng thuộc 2 đường tròn
B. tứ giác OPHQ là hình gì?
C. Xác định vị trí của M trên cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất

 

[panh29]

a,
APMH nội tiếp (0); AMHQ nội tiếp (0) \Rightarrow A,P,M,H,Q cùng [TEX]\epsilon [/TEX](0)
b,
Ta có [TEX]\widehat{MPH}=\widehat{MAH}[/TEX](tứ giác APMH nội tiếp (0) )
OP=OA=OM=OH=OQ (1)\Rightarrow [TEX]\Delta[/TEX]AOP cân tại O \Rightarrow [TEX]\widehat{OPA}=\widehat{OAP}[/TEX]\Rightarrow [TEX]\widehat{OPA}+\widehat{MPH}=\widehat{OAP}+\widehat{MAH}=\widehat{PAH}=30^o[/TEX]\Rightarrow [TEX]\widehat{OPH}=90^o -30^o=60^o[/TEX] mà [TEX]\Delta[/TEX]OPH cân tại O\Rightarrow [TEX]\Delta[/TEX]OPH đều \Rightarrow OP=OH=PH (2)
dễ dàng c/m được [TEX]\Delta[/TEX]OHQ đều \Rightarrow OH=OQ=QH(3)
Từ (1) ,(2) và (3)\Rightarrow OPHQ là hình thoi
c,Gọi giao của PQ và OH là K
Để PQ nhỏ nhất \Leftrightarrow PK nhỏ nhất
Ta có PQ[TEX]\perp[/TEX]OH tại K; OH=OP=[TEX]\frac{AM}{2}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]PK^2=PO^2-(\frac{OH}{2})^2=\frac{AM\sqrt{3}}{4}[/TEX]
PK nhỏ nhất \Leftrightarrow AM nhỏ nhất\Leftrightarrow AM=AH\Leftrightarrow M[TEX]\equiv[/TEX]H
Khi đó PQ=[TEX]\frac{3a}{8}[/TEX]